Highly purified tetrachlorosilane ( \mathrm{SiCl}_{4} ) gas is reacted with hydrogen gas ( \mathrm{H}_{2} ) to produce electronic-grade polycrystalline silicon at 800^{\circ} \mathrm{C} and 1.5 \times 10^{5} \mathrm{~Pa} according to the equction:
\mathrm{SiCl}_{4}(\mathrm{~g})+2 \mathrm{H}_{2}(\mathrm{~g}) \rightarrow \mathrm{Si}(\mathrm{~s})+4 \mathrm{HCl}(\mathrm{~g})
There are concerns that the reaction experiences diffusional limitations at the growing Si solid surface. The Lennard-Jones parameters for \mathrm{SiCl}_{4} (species A) are \varepsilon_{A} / \kappa=358 \mathrm{~K}, \sigma_{A}=5.08 \AA
Estimate the molecular diffusion coefficient for \mathrm{SiCl}_{4} in \mathrm{H}_{2}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: reação irrelevante para o cálculo, temperatura e pressão do sistema: \,800^\circ\mathrm{C}=1073{,}15\\ \mathrm{K} e P=1{,}5\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
  • Dado: parâmetros de Lennard–Jones para \mathrm{SiCl}_{4} (espécie A): \varepsilon_{A}/k = 358\\ \mathrm{K}, \sigma_{A}=5{,}08\\ \text{\AA}.
  • Pedido: estimar o coeficiente de difusão molecular de \mathrm{SiCl}_{4} em \mathrm{H}_{2} (ou seja, D_{AB} com A=\mathrm{SiCl}_{4} e B=\mathrm{H}_{2}).
  • Observação: o enunciado não fornece os parâmetros de Lennard–Jones do \mathrm{H}_{2}, então vou usar valores-padrão de literatura para \mathrm{H}_{2}: \varepsilon_{B}/k = 59{,}7\\ \mathrm{K}, \sigma_{B}=2{,}827\\ \text{\AA}. (Vou indicar explicitamente quando esses valores são usados.)

Passo 2

Escolha do método e fórmula que vamos usar (sem fazer ainda).
  • Método: usar a expressão de Chapman–Enskog para difusão binária de gases, que é a forma padrão para estimar D_{AB} a partir de parâmetros de Lennard–Jones.
  • Fórmula (versão prática, dando D_{AB} em \mathrm{cm}^2/\mathrm{s} quando T em \mathrm{K}, P em \mathrm{atm}, \sigma_{AB} em \text{\AA}, e massas molares em \mathrm{g/mol}):
D_{AB} = \frac{0{,}001858\; T^{3/2}}{P\; \sigma_{AB}^2\; \Omega_D}\\ \sqrt{\frac{1}{M_A}+\frac{1}{M_B}}
  • Explicação das variáveis:
    • T: temperatura absoluta em \mathrm{K}.
    • P: pressão em \mathrm{atm}.
    • \sigma_{AB}: diâmetro de colisão efetivo entre A e B (em \text{\AA}). Será obtido pela regra combinatória \sigma_{AB}=(\sigma_A+\sigma_B)/2.
    • M_A,M_B: massas molares em \mathrm{g/mol}.
    • \Omega_D: integral de colisão adimensional (função de temperatura reduzida T^*); calculamos com a correlação de Neufeld (boa precisão prática).
  • Observação sobre unidades: no final eu converto para o SI ( \mathrm{m}^2/\mathrm{s}) usando 1\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}=10^{-4}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.

Passo 3

Calcular os parâmetros misturados \sigma_{AB} e \varepsilon_{AB} e as massas molares.
  • Valores usados:
    • Para A=\mathrm{SiCl}_{4}: \varepsilon_A/k=358\\ \mathrm{K}, \sigma_A=5{,}08\\ \text{\AA}. (dado)
    • Para B=\mathrm{H}_2: \varepsilon_B/k=59{,}7\\ \mathrm{K}, \sigma_B=2{,}827\\ \text{\AA}. (valor de literatura)
  • Regras combinatórias: \sigma_{AB} = \frac{\sigma_A+\sigma_B}{2},\qquad \varepsilon_{AB}/k = \sqrt{\left(\varepsilon_A/k\right)\left(\varepsilon_B/k\right)}.
  • Cálculos: \sigma_{AB} = \frac{5{,}08 + 2{,}827}{2} = 3{,}9535\\ \text{\AA}.
\varepsilon_{AB}/k = \sqrt{358 \times 59{,}7} = \sqrt{21372{,}6}\approx 146{,}16\\ \mathrm{K}.
  • Massas molares: M_A(\mathrm{SiCl}_4)=28{,}0855 + 4\times35{,}453 = 169{,}8975\\ \mathrm{g/mol},
M_B(\mathrm{H}_2)=2{,}01588\\ \mathrm{g/mol}.

Passo 4

Calcular a temperatura reduzida T^* e a integral de colisão \Omega_D.
  • Temperatura absoluta: T=800^\circ\mathrm{C}=800+273{,}15=1073{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Temperatura reduzida: T^*=\frac{T}{\varepsilon_{AB}/k}=\frac{1073{,}15}{146{,}16}\approx 7{,}34.
  • Para \Omega_D uso a correlação de Neufeld et al. (boa prática para integrais de colisão):
\Omega_D(T^*) = 1{,}06036\,{T^*}^{-0{,}15610} + 0{,}19300\,e^{-0{,}47635\,T^*} + 1{,}03587\,e^{-1{,}52996\,T^*} + 1{,}76474\,e^{-3{,}89411\,T^*}.
  • Avaliando termo a termo com T^*=7{,}34:
    • 1{,}06036\,{T^*}^{-0{,}15610}\approx 1{,}06036\times 7{,}34^{-0{,}15610}\approx 0{,}7774.
    • 0{,}19300\,e^{-0{,}47635\times7{,}34}\approx 0{,}00586.
    • Os dois últimos termos são negligíveis (exponenciais muito pequenas).
  • Logo \Omega_D \approx 0{,}7774 + 0{,}00586 \approx 0{,}7833\\ (\text{adimensional}).

Passo 5

Preparar os valores numéricos para inserir na fórmula de Chapman–Enskog.
  • Converter a pressão para \mathrm{atm}: P = \frac{1{,}5\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}}{1{,}01325\times10^{5}\\ \mathrm{Pa/atm}} \approx 1{,}480\\ \mathrm{atm}.
  • Calcular \sigma_{AB}^2: \sigma_{AB}^2 = (3{,}9535)^2 \approx 15{,}626\\ \text{\AA}^2.
  • Calcular a raiz de massas: \sqrt{\frac{1}{M_A}+\frac{1}{M_B}} = \sqrt{\frac{1}{169{,}8975}+\frac{1}{2{,}01588}} \approx \sqrt{0{,}005885 + 0{,}49605} = \sqrt{0{,}50194}\approx 0{,}7085.

Passo 6

Calcular D_{AB} numericamente com a fórmula de Chapman–Enskog.
  • Primeiro calcule T^{3/2}: T^{3/2} = 1073{,}15^{3/2} = 1073{,}15\sqrt{1073{,}15}\approx 35145{,}7.
  • Agora aplique a fórmula (lembrando que o fator 0{,}001858 D em \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}):
D_{AB} = \frac{0{,}001858 \times 35145{,}7}{1{,}480 \times 15{,}626 \times 0{,}7833}\times 0{,}7085.
  • Calcule o numerador: 0{,}001858 \times 35145{,}7 \approx 65{,}30.
  • Calcule o denominador intermediário: 1{,}480 \times 15{,}626 \times 0{,}7833 \approx 18{,}115.
  • Quociente: \frac{65{,}30}{18{,}115}\approx 3{,}603\\ (\mathrm{cm}^2/\mathrm{s}\\ \text{antes do fator de massa}).
  • Multiplicando pelo fator de massa 0{,}7085: D_{AB} \approx 3{,}603 \times 0{,}7085 \approx 2{,}55\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}.
  • Converter para unidades SI ( \mathrm{m}^2/\mathrm{s}): D_{AB} \approx 2{,}55\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s} = 2{,}55\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.

Passo 7

Comentário final, verificação e arredondamento.
  • Ordem de grandeza: 10^{-4}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s} é razoável para difusão gasosa a alta temperatura; moléculas pesadas em \mathrm{H}_2 ainda difundem relativamente rápido por causa da alta temperatura e do baixo peso do gás transportador.
  • Fontes de incerteza: os parâmetros LJ para \mathrm{H}_2 e a correlação de \Omega_D introduzem pequenas incertezas; resultado final arredondado com duas casas significativas é apropriado.

Resposta

2{,}6\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}

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