O Hindenburg, dirigível alemão que pegou fogo em 1937 enquanto atracava em Lakehurst, New Jersey, era um balão de estrutura rígida de duralumínio cheio com 200.000 \mathrm{~m}^{3} de hidrogênio. A força ascensional útil do Hindenburg (além da própria estrutura) era de 1,099 \cdot 10^{6} \mathrm{~N} (ou 247.000 lb ). Use \rho_{a r}=1,205 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, \rho_{H}=0,08988 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e \rho_{H e}=0,1786 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.
Calcule o peso da estrutura do dirigível (sem o gás hidrogênio).

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá.
  • O enunciado pede: calcular o peso (força peso, em newtons) da estrutura do dirigível, excluindo o gás hidrogênio.
  • Dados fornecidos:
    • Volume do gás: V=200000\\ \mathrm{m}^3.
    • Força ascensional útil (além da própria estrutura): W_{\text{útil}}=1,099\cdot10^{6}\\ \mathrm{N}ú.
    • Densidade do ar: \rho_{\text{ar}}=1,205\\ \mathrm{kg/m}^3.
    • Densidade do hidrogênio: \rho_{H}=0,08988\\ \mathrm{kg/m}^3.
    • Densidade do hélio (informação extra, não necessária aqui): \rho_{He}=0,1786\\ \mathrm{kg/m}^3.
  • Constante gravitacional que vou usar: g=9,81\\ \mathrm{m/s}^2.
  • Objetivo: achar W_{\text{estrutura}} (o peso da estrutura, em newtons).

Passo 2

Princípio físico e fórmula básica (explicação didática).
  • O empuxo (força ascensional) sobre o dirigível é dado pelo princípio de Arquimedes: o empuxo vale o peso do volume de ar deslocado.
  • Fórmula do empuxo: F_{b}=\rho_{\text{ar}}\,V\,gonde:
    • F_{b} é o empuxo (N),
    • \rho_{\text{ar}} é a densidade do ar ( \mathrm{kg/m}^3),
    • V é o volume deslocado ( \mathrm{m}^3),
    • g é a aceleração da gravidade ( \mathrm{m/s}^2).
  • Esse empuxo é dirigido para cima, mas parte dele é “gasto” para sustentar o próprio gás de enchimento (hidrogênio). O restante é o empuxo líquido disponível para sustentar a estrutura + carga.

Passo 3

Peso do gás e empuxo líquido (explicação e fórmulas).
  • O peso do hidrogênio contido no volume V é: W_{H}=\rho_{H}\,V\,gonde W_H é o peso do gás (N).
  • O empuxo líquido que sobra para sustentar estrutura+carga é: F_{\text{líquido}}=F_{b}-W_{H}=(\rho_{\text{ar}}-\rho_{H})\,V\,g.í
  • Esse empuxo líquido deve suportar a soma do peso da estrutura e da carga útil: (\rho_{\text{ar}}-\rho_{H})\,V\,g = W_{\text{estrutura}} + W_{\text{útil}}.ú
  • Assim isolamos o que queremos: W_{\text{estrutura}}=(\rho_{\text{ar}}-\rho_{H})\,V\,g - W_{\text{útil}}.ú

Passo 4

Cálculo numérico passo a passo (sem pular etapas).
  • Primeiro calcule a diferença de densidades: \rho_{\text{ar}}-\rho_{H}=1,205-0,08988=1,11512\\ \mathrm{kg/m}^3.
  • Multiplicando pela volume V obtemos a massa “útil” (massa equivalente ao empuxo líquido): m_{\text{líquido}}=(\rho_{\text{ar}}-\rho_{H})\,V=1,11512\cdot200000=223024\\ \mathrm{kg}.í(interpretação: se convertêssemos esse empuxo líquido em massa, corresponderia a 223024\\ \mathrm{kg}.)
  • Transformando essa massa em força (multiplicando por g) obtemos o empuxo líquido em newtons: F_{\text{líquido}}=m_{\text{líquido}}\,g=223024\cdot9,81=2187865,44\\ \mathrm{N}.íí(aqui a conta foi feita como 223024\times9,81=2\,187\,865,44\\ \mathrm{N}.)
  • Finalmente subtraímos a força ascensional útil disponível além da estrutura para obter o peso da estrutura: W_{\text{estrutura}}=F_{\text{líquido}}-W_{\text{útil}}=2187865,44-1,099\cdot10^{6}.íú
W_{\text{estrutura}}=2187865,44-1099000=1088865,44\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Interpretação final e massa equivalente (ajuda prática para sentir o número).
  • O resultado em força (peso) é W_{\text{estrutura}}=1088865,44\\ \mathrm{N}.
  • Se quiser saber a massa da estrutura (para intuição), dividimos por g: m_{\text{estrutura}}=\frac{W_{\text{estrutura}}}{g}=\frac{1088865,44}{9,81}\approx110978{,}3\\ \mathrm{kg}.(ou seja, cerca de 1{,}11\cdot10^{5}\\ \mathrm{kg}.)
  • Comentário amigo: é um número grande, mas faz sentido para um dirigível gigantesco como o Hindenburg — a estrutura inteira pesava da ordem de 10^5 kg.

Resposta

1088865,44\\ \mathrm{N}

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