A densidade média do corpo humano é 985 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e a densidade típica da água do mar é cerca de 1.020 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.
O Mar Morto (um lago de água salgada entre Israel e Jordânia) é o maior e mais salgado corpo de água no mundo. Seu conteúdo médio de sal é mais do que seis vezes o conteúdo de água do mar, o que explica por que não há plantas nem animais nele. Dois terços do volume do corpo de uma pessoa flutuando no Mar Morto estão submersos. Determine a densidade (em \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3} ) da água do mar no Mar Morto.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Densidade média do corpo humano: \rho_{\text{corpo}} = 985\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}.
  • Fração do volume do corpo submersa ao flutuar no Mar Morto: dois terços, ou seja, V_{\text{sub}} = \dfrac{2}{3}V, onde V é o volume total do corpo.
  • Pede-se: determinar a densidade da água do Mar Morto, isto é, encontrar \rho_{\text{água}}á em \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}.

Passo 2

Conceito físico que vamos usar — Princípio de Arquimedes (explicadinho):
  • Quando um corpo flutua estático, a força de empuxo para cima é igual ao peso do corpo para baixo.
  • A força de empuxo (E) é igual ao peso do fluido deslocado, isto é:
E = \rho_{\text{água}}\,V_{\text{sub}}\,g,á
onde \rho_{\text{água}}á é a densidade do fluido, V_{\text{sub}} é o volume submerso e g é a aceleração da gravidade.
  • O peso do corpo é
P = \rho_{\text{corpo}}\,V\,g,
onde \rho_{\text{corpo}} é a densidade do corpo e V seu volume total.
  • Em equilíbrio (flutuação):
E = P.
Aqui: vou explicar cada símbolo para ficar clarinho.
  • \rho_{\text{corpo}}: densidade média do corpo (dada).
  • \rho_{\text{água}}á: densidade da água do Mar Morto (o que queremos).
  • V: volume total do corpo.
  • V_{\text{sub}}: volume do corpo que está submerso (dado: 2/3 de V).
  • g: aceleração da gravidade (mesma nos dois lados; vai cancelar).

Passo 3

Escrevendo a igualdade empuxo = peso usando os símbolos definidos:
\rho_{\text{água}}\,V_{\text{sub}}\,g = \rho_{\text{corpo}}\,V\,g.á
Substituindo V_{\text{sub}}=\dfrac{2}{3}V na expressão do empuxo:
\rho_{\text{água}}\,\left(\dfrac{2}{3}V\right)\,g = \rho_{\text{corpo}}\,V\,g.á

Passo 4

Simplificação passo a passo (mostrando por que g e V desaparecem):
  • Ambos os lados têm o fator V\,g, então podemos dividir ambos os lados por V\,g (assumindo V>0 e g>0):
\rho_{\text{água}}\,\dfrac{2}{3} = \rho_{\text{corpo}}.á
  • Isolando \rho_{\text{água}}á,
\rho_{\text{água}} = \dfrac{3}{2}\,\rho_{\text{corpo}}.á

Passo 5

Substituindo o valor numérico de \rho_{\text{corpo}}=985\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}:
\rho_{\text{água}} = \dfrac{3}{2}\times 985 = 1{,}5\times 985 = 1477{,}5\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}.á
Interpretação rápida e ânimo: isso significa que a água do Mar Morto é muito mais densa que a água do mar típica (que o enunciado citou como \sim 1020\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}), o que explica por que as pessoas flutuam com grande parte do corpo fora d’água. Bom trabalho — já era só aplicar Arquimedes e fazer uma conta direta!

Resposta

1477{,}5\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}

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