A hipérbole H: x y-1=0 tem focos F1(raiz2, raiz2) e F2(-raiz2,-raiz2). Usando argumentos geométricos, determine a equação cartesiana da reta tangente à hipérbole no ponto T(1, 12).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma hipérbole definida por H: xy - 1 = 0 com dois focos dados e precisa achar a equação da reta tangente nessa hipérbole no ponto T(1, 12). Vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especialmente sobre como encontrar a equação de uma reta tangente a uma curva em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação da reta tangente a uma hipérbole no ponto (x0, y0) pode ser encontrada usando a derivada implícita ou uma fórmula direta. No caso da hipérbole H: xy - 1 = 0, a fórmula da reta tangente no ponto (x0, y0) é dada por:
x0 y + y0 x = 2

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa fórmula no ponto T(1, 12). Aqui, x0 = 1 e y0 = 12. Substituindo esses valores na equação da tangente:
1 cdot y + 12 cdot x = 2

Passo 4

Vamos simplificar essa equação para deixá-la mais clara. Multiplicando todos os termos por 2 para eliminar a fração:
2y + x = 4

Passo 5

Finalmente, podemos escrever a equação na forma mais conhecida da reta, isolando y:
y = -12x + 2

Resposta

A equação cartesiana da reta tangente à hipérbole no ponto T(1, 12) é:
y = -12x + 2

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