Um veículo espacial de 200 kg é observado em
ao passar pela origem de um sistema de referência newtoniano
com velocidade
î em relação ao sistema. Como resultado da detonação de cargas explosivas, o veículo se separa em três partes
e
, de massas de
e 40 kg , respectivamente. Sabendo que, em
, as posições das partes
e
observadas são
e
, sendo as coordenadas expressas em metros, determine a posição da parte
nesse instante.
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Um veículo espacial de massa total
passa pela origem do sistema de referência em com velocidade inicial . Ou seja, a posição inicial do centro de massa do sistema é . - Em consequência de uma detonação, o veículo separa-se em três partes com massas:
- No instante
, as posições (em metros) observadas são: (Estou pegando esses dados do enunciado.) - O que se pede: determinar a posição
da parte no instante .
Passo 2
Princípio físico e fórmula chave (explicadinho passo a passo).
- Quando não há forças externas atuando no sistema (o que é a hipótese padrão em explosões internas), o momento linear total do sistema é conservado. Isso implica que o centro de massa do sistema se move como se toda a massa estivesse concentrada em seu centro de massa e sujeita apenas às forças externas — aqui inexistentes — então o centro de massa mantém movimento retilíneo uniforme com a velocidade inicial do conjunto.
- A posição do centro de massa em um instante
é dada pela média ponderada das posições das partes, pela fórmula onde é a massa total. Aqui percorre . - Como o veículo inteiro (antes da explosão) estava em
em com velocidade , o centro de massa em tempo é Explicando cada símbolo: é a posição inicial do centro de massa (aqui ), é a velocidade inicial do centro de massa (aqui ), e é o tempo decorrido.
Passo 3
Calcular a posição do centro de massa em
usando movimento retilíneo uniforme.
- A massa total é
- A posição do centro de massa em
é - Como
e , obtemos
Passo 4
Escrever a equação do centro de massa em componentes e isolar
.
- A relação entre as posições das partes e a posição do centro de massa é
- Multiplicando ambos os lados por
e isolando dá portanto - Isto é só álgebra vetorial componente a componente: podemos aplicar essa fórmula separadamente às componentes
.
Passo 5
Calcular os termos numéricos (produto massa × posição) componente a componente.
- Primeiro calcule
: - Agora
: - E
: - Somando
obtemos
Passo 6
Subtrair e dividir por
para obter
.
- Compute o numerador:
- Dividindo por
temos - Então a posição da parte
no instante é metros.