Um veículo espacial de 200 kg é observado em t=0 ao passar pela origem de um sistema de referência newtoniano O x y z com velocidade \mathbf{v}_{0}=(150 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) î em relação ao sistema. Como resultado da detonação de cargas explosivas, o veículo se separa em três partes A, B e C, de massas de 100 \mathrm{~kg}, 60 \mathrm{~kg} e 40 kg , respectivamente. Sabendo que, em t=2,5 \mathrm{~s}, as posições das partes A e B observadas são A=(555,180,240) e B=(255,0,120), sendo as coordenadas expressas em metros, determine a posição da parte C nesse instante.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Um veículo espacial de massa total 200\\ \mathrm{kg} passa pela origem do sistema de referência Oxyz em t=0 com velocidade inicial \mathbf{v}_{0}=(150\\ \mathrm{m/s})\\ \hat{\mathbf{i}}. Ou seja, a posição inicial do centro de massa do sistema é \mathbf{r}_0=(0,0,0).
  • Em consequência de uma detonação, o veículo separa-se em três partes com massas: m_A=100\\ \mathrm{kg},\quad m_B=60\\ \mathrm{kg},\quad m_C=40\\ \mathrm{kg}.
  • No instante t=2{,}5\\ \mathrm{s}, as posições (em metros) observadas são: \mathbf{r}_A=(555,180,240),\quad \mathbf{r}_B=(255,0,120).(Estou pegando esses dados do enunciado.)
  • O que se pede: determinar a posição \mathbf{r}_C da parte C no instante t=2{,}5\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Princípio físico e fórmula chave (explicadinho passo a passo).
  • Quando não há forças externas atuando no sistema (o que é a hipótese padrão em explosões internas), o momento linear total do sistema é conservado. Isso implica que o centro de massa do sistema se move como se toda a massa estivesse concentrada em seu centro de massa e sujeita apenas às forças externas — aqui inexistentes — então o centro de massa mantém movimento retilíneo uniforme com a velocidade inicial do conjunto.
  • A posição do centro de massa em um instante t é dada pela média ponderada das posições das partes, pela fórmula \mathbf{R}_{\text{cm}}=\frac{1}{M}\sum_i m_i\mathbf{r}_i,onde M=\sum_i m_i é a massa total. Aqui i percorre A,B,C.
  • Como o veículo inteiro (antes da explosão) estava em t=0 em \mathbf{r}_0=(0,0,0) com velocidade \mathbf{v}_0, o centro de massa em tempo t é \mathbf{R}_{\text{cm}}(t)=\mathbf{r}_0+\mathbf{v}_0\,t.Explicando cada símbolo: \mathbf{r}_0 é a posição inicial do centro de massa (aqui (0,0,0)), \mathbf{v}_0 é a velocidade inicial do centro de massa (aqui (150,0,0)\\ \mathrm{m/s}), e t é o tempo decorrido.

Passo 3

Calcular a posição do centro de massa em t=2{,}5\\ \mathrm{s} usando movimento retilíneo uniforme.
  • A massa total é M=m_A+m_B+m_C=100+60+40=200\\ \mathrm{kg}.
  • A posição do centro de massa em t=2{,}5\\ \mathrm{s} é \mathbf{R}_{\text{cm}}(2{,}5)=\mathbf{r}_0+\mathbf{v}_0\cdot 2{,}5.
  • Como \mathbf{r}_0=(0,0,0) e \mathbf{v}_0=(150,0,0)\\ \mathrm{m/s}, obtemos \mathbf{R}_{\text{cm}}(2{,}5)=(0,0,0)+(150,0,0)\cdot 2{,}5=(375,0,0).

Passo 4

Escrever a equação do centro de massa em componentes e isolar \mathbf{r}_C.
  • A relação entre as posições das partes e a posição do centro de massa é \frac{1}{M}\bigl(m_A\mathbf{r}_A+m_B\mathbf{r}_B+m_C\mathbf{r}_C\bigr)=\mathbf{R}_{\text{cm}}.
  • Multiplicando ambos os lados por M e isolando \mathbf{r}_C m_C\mathbf{r}_C = M\mathbf{R}_{\text{cm}} - m_A\mathbf{r}_A - m_B\mathbf{r}_B,portanto \mathbf{r}_C=\frac{1}{m_C}\bigl(M\mathbf{R}_{\text{cm}} - m_A\mathbf{r}_A - m_B\mathbf{r}_B\bigr).
  • Isto é só álgebra vetorial componente a componente: podemos aplicar essa fórmula separadamente às componentes x,y,z.

Passo 5

Calcular os termos numéricos (produto massa × posição) componente a componente.
  • Primeiro calcule M\mathbf{R}_{\text{cm}}: M\mathbf{R}_{\text{cm}}=200\cdot(375,0,0)=(75000,0,0).
  • Agora m_A\mathbf{r}_A: m_A\mathbf{r}_A=100\cdot(555,180,240)=(55500,18000,24000).
  • E m_B\mathbf{r}_B: m_B\mathbf{r}_B=60\cdot(255,0,120)=(15300,0,7200).
  • Somando m_A\mathbf{r}_A+m_B\mathbf{r}_B obtemos (55500,18000,24000)+(15300,0,7200)=(70800,18000,31200).

Passo 6

Subtrair e dividir por m_C para obter \mathbf{r}_C.
  • Compute o numerador: M\mathbf{R}_{\text{cm}} - m_A\mathbf{r}_A - m_B\mathbf{r}_B = (75000,0,0)-(70800,18000,31200)=(4200,-18000,-31200).
  • Dividindo por m_C=40 temos \mathbf{r}_C=\frac{1}{40}(4200,-18000,-31200)=(105,-450,-780).
  • Então a posição da parte C no instante t=2{,}5\\ \mathrm{s} é (105,-450,-780) metros.

Resposta

\mathbf{r}_C=(105,-450,-780)\\ \mathrm{m}

Exercícios relacionados