How much saturated steam with 120.8 kPa pressure is required to concentrate 1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} of juice from 12 \% to 20 \% solids at 95^{\circ} \mathrm{C} ? Assume that the heat capacity of juice is 4 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O que o problema pede e o que é dado (lista clara dos pedidos e dados):
  • Pedido: determinar quanto de vapor saturado (massa por hora) a 120{,}8\\ \text{kPa} é necessário para concentrar 1000\\ \text{kg/h} de suco de 12\% para 20\% de sólidos, operando com o suco a 95^\circ\text{C}.
  • Dados relevantes:
    • Vazão de alimentação do suco: m_{ji}=1000\\ \text{kg/h}.
    • Fração mássica de sólidos na alimentação: x_i=12\% = 0{,}12.
    • Fração mássica de sólidos no produto: x_o=20\% = 0{,}20.
    • Temperatura do suco (entrada e saída): 95^\circ\text{C}.
    • Pressão do vapor saturado usado como aquecedor: 120{,}8\\ \text{kPa}.
    • Capacidade térmica do suco: c_p=4\\ \text{kJ/kg}^\circ\text{C}.
  • Observações importantes (que influenciam a resolução):
    • A alimentação e o produto estão à mesma temperatura 95^\circ\text{C}, logo não há troca sensível de calor para aquecer o suco (nenhuma elevação de temperatura do suco).
    • O processo principal de consumo de energia é a vaporização da água removida do suco.
  • O objetivo prático na conta: calcular a vazão de vapor saturado m_s (em \text{kg/h}) necessária para fornecer a energia de vaporização.

Passo 2

Balanço de massa para determinar quanto de água precisa ser evaporada.
  • A massa de sólidos na alimentação é conservada:
\text{massa de sólidos} = m_{ji}\,x_i = 1000\cdot 0{,}12 = 120\\ \text{kg/h}.ó
  • Como a corrente de saída tem 20\% sólidos, a vazão mássica de produto m_{jo} é obtida por
m_{jo}=\frac{\text{massa de sólidos}}{x_o}=\frac{120}{0{,}20}=600\\ \text{kg/h}.ó
  • Logo a massa de água evaporada (vazão de vapor gerado) é
m_v = m_{ji}-m_{jo}=1000-600=400\\ \text{kg/h}.
Comentário didático: isso significa que precisamos remover 400\\ \text{kg/h} de água do suco; cada kg dessa água removida requer a energia latente de vaporização.

Passo 3

Escrever o balanço de energia simplificado e interpretar termos.
  • Geralmente, energia fornecida pelo vapor condensado é usada para:
    1. aquecer o suco (sensible heat),
    2. evaporar a água (latent heat).
  • Aqui a alimentação e o produto estão a 95^\circ\text{C}, portanto a contribuição (1) é nula (ou negligenciável). Assim, a energia do vapor serve essencialmente para provir a entalpia de vaporização da água evaporada.
  • Balanço energético por hora (neglectando perdas):
m_s\;h_{fg,\text{steam}} \;=\; m_v\;h_{fg,\text{evap}}
onde
  • m_s é a vazão de vapor saturado que entra (kg/h),
  • h_{fg,\text{steam}} é o calor latente liberado quando 1 kg de vapor saturado a 120{,}8\\ \text{kPa} condensa (kJ/kg),
  • m_v é a vazão de água evaporada (já calculada, 400\\ \text{kg/h}),
  • h_{fg,\text{evap}} é o calor latente necessário para evaporar 1 kg de água à temperatura de ebulição do suco (aqui 95^\circ\text{C}), ou seja, a entalpia de vaporização à temperatura de operação (kJ/kg).
  • Reorganizando:
m_s = m_v\;\frac{h_{fg,\text{evap}}}{h_{fg,\text{steam}}}.
Didática sobre os h_{fg}: h_{fg} depende da temperatura (ou pressão) de vaporização. Se o vapor que condensa e o vapor formado na evapoção estivessem exatamente à mesma temperatura, os dois h_{fg} seriam iguais e m_s=m_v. Aqui o vapor de aquecimento está a uma temperatura um pouco maior (saturado a 120{,}8\\ \text{kPa}) do que a temperatura de ebulição do líquido (o suco, a 95^\circ\text{C}), então os h_{fg} são próximos, mas não idênticos — daí a fórmula acima.

Passo 4

Escolher valores para h_{fg,\text{evap}} e h_{fg,\text{steam}} (uso de tabelas de vapor) e calcular m_s.
  • Consultando tabelas de vapor saturado (valores aproximados; em prova utilize a tabela que o professor fornece):
    • Para água saturada a 95^\circ\text{C}: h_{fg,\text{evap}}\approx 2284\\ \text{kJ/kg} (entalpia de vaporização a 95^\circ\text{C}).
    • Para vapor saturado a 120{,}8\\ \text{kPa} (temperatura de saturação aproximadamente 104^\circ\text{C}): h_{fg,\text{steam}}\approx 2248\\ \text{kJ/kg}.
      (Obs.: se na sua prova tiver outra tabela, use os valores exatos dessa tabela; aqui uso valores típicos de tabela para ilustrar o cálculo.)
  • Aplicando a fórmula:
m_s = 400\cdot\frac{2284}{2248}.
  • Fazer a conta (cada passo mostrado):
\frac{2284}{2248}\approx 1{,}016;
m_s \approx 400\cdot 1{,}016 \approx 406{,}4\\ \text{kg/h}.
  • Arredondando de forma razoável: m_s\approx 406\\ \text{kg/h}.
Didática sobre aproximações: se ignorarmos a pequena diferença entre h_{fg} à 95^\circ\text{C} e à 104^\circ\text{C}, podemos tomar h_{fg,\text{evap}}\approx h_{fg,\text{steam}} e obter m_s\approx m_v=400\\ \text{kg/h}. A correção calculada acima mostra que, com valores de tabela, o vapor necessário é só alguns por cento maior que a massa de água evaporada.

Passo 5

Interpretação final e verificação rápida de consistência.
  • Resultado obtido m_s\approx 406\\ \text{kg/h} é consistente com a intuição (vapor necessário muito próximo da massa evaporada, pois os calores latentes são parecidos).
  • Verificação dimensional: ambos os termos na equação energética estão em kJ/h (kg/h × kJ/kg), portanto a unidade de m_s é kg/h, consistente.
  • Se a prova pedir uma resposta com menos precisão, pode-se responder 400\\ \text{kg/h} como aproximação rápida; se pedir com uso de tabela, reporte o valor obtido usando os h_{fg} da tabela fornecida (aqui: \approx 406\\ \text{kg/h}).

Resposta

m_s \approx 406\\ \text{kg/h}

Exercícios relacionados