Calcule a constante de equilíbrio na temperatura \mathrm{T}=25^{\circ} \mathrm{C} da reação de equilíbrio da precipitação do carbonato de cálcio ( \mathrm{CaCO}_{3} ).
\mathrm{Ca}^{+2}+\mathrm{CO}_{3}^{-2} \leftrightarrow \mathrm{CaCO}_{3}
Com base no valor da constante de equilíbrio encontrado, marque a alternativa correta.
Para o cálculo do \mathrm{K}_{\mathrm{sp}} considere:
\mathrm{Ca}^{2+} \rightarrow \Delta \mathrm{G}_{0}=-553,54 \mathrm{KJ} / \mathrm{mol}
\mathrm{CO}_{3}{ }^{-2} \rightarrow \Delta \mathrm{G}_{0}=-527,90 \mathrm{KJ} / \mathrm{mol}
\begin{gathered} \Delta G_{0}=-R \cdot T \cdot \ln (K) \\\ \Delta G_{0}=\Delta G_{0, p}-\Delta G_{0, r} \\\ \Delta G_{0}=\left(c \cdot \Delta G_{0, C}+d \cdot \Delta G_{0, D}\right)-\left(a \cdot \Delta G_{0, A}+b \cdot \Delta G_{0, B}\right) \end{gathered}
\mathrm{CaCO}_{3}{ }_{\text {(s) }} \rightarrow \Delta \mathrm{G}_{0}=-1128,84
\mathrm{KJ} / \mathrm{mol}
a) Essa reação é rápida, pois apresenta elevado \mathrm{K}_{\mathrm{sp}}\left(=2,0326 \times 10^{8}\right. a \left.\mathrm{T}=25^{\circ} \mathrm{C}\right) e, portanto vamos precisar de pouco reagente para que a reação ocorra no sentido da precipitação do carbonato de cálcio
b) Essa reação é rápida, pois apresenta elevado \mathrm{K}_{\mathrm{sp}}\left(=2,0326 \times 10^{8}\right. a \left.\mathrm{T}=25^{\circ} \mathrm{C}\right) e, portanto vamos precisar de muito reagente para que a reação ocorra no sentido da precipitação do carbonato de cálcio.
c) Essa reação é lenta, pois apresenta baixo \mathrm{K}_{\mathrm{sp}}\left(=10^{-8,302}\right. a \left.\mathrm{T}=25^{\circ} \mathrm{C}\right) e, portanto vamos precisar de muito reagente para que a reação ocorra no sentido da precipitação do carbonato de cálcio.
d) Essa reação é lenta, pois apresenta baixo \mathrm{K}_{\mathrm{sp}}\left(=10^{-8,302}\right. a \left.\mathrm{T}=25^{\circ} \mathrm{C}\right) e, portanto vamos precisar de pouco reagente para que a reação ocorra no sentido da precipitação do carbonato de cálcio.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Reação de equilíbrio (precipitação):
\mathrm{Ca}^{2+}+\mathrm{CO}_{3}^{2-}\leftrightarrow\mathrm{CaCO}_{3\\ (s)}
  • Dados fornecidos (energias livres padrão de formação, todos em \mathrm{kJ/mol}):
    • \Delta G^\circ_{f}(\mathrm{Ca}^{2+})=-553{,}54
    • \Delta G^\circ_{f}(\mathrm{CO}_{3}^{2-})=-527{,}90
    • \Delta G^\circ_{f}(\mathrm{CaCO}_{3\\ (s)})=-1128{,}84
  • Temperatura: T=25^\circ\mathrm{C}=298{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Fórmulas que usaremos: \Delta G^\circ_{\text{reação}}=\sum \Delta G^\circ_{f,\text{produtos}}-\sum \Delta G^\circ_{f,\text{reagentes}}çã
\Delta G^\circ=-R\,T\,\ln(K)
  • O objetivo: calcular a constante de equilíbrio K à 25^\circ\mathrm{C} para a reação dada e, com isso, escolher a alternativa correta entre (a)–(d).

Passo 2

Calcular a variação de energia livre padrão da reação usando as energias livres padrão de formação dadas.
Explicando a fórmula: \Delta G^\circ_{\text{reação}}çã é a diferença entre a soma das \Delta G^\circ_{f} dos produtos e a soma das \Delta G^\circ_{f} dos reagentes. Aqui há só um produto sólido e dois íons como reagentes.
Então:
\Delta G^\circ_{\text{reação}}=\Delta G^\circ_{f}(\mathrm{CaCO}_3)-\big(\Delta G^\circ_{f}(\mathrm{Ca}^{2+})+\Delta G^\circ_{f}(\mathrm{CO}_3^{2-})\big)çã
Substituindo os números (todos em \mathrm{kJ/mol}):
\Delta G^\circ_{\text{reação}}=-1128{,}84-\big(-553{,}54+(-527{,}90)\big)\\ \mathrm{kJ/mol}çã
Calcule dentro dos parênteses:
-553{,}54+(-527{,}90)=-1081{,}44\\ \mathrm{kJ/mol}
Portanto:
\Delta G^\circ_{\text{reação}}=-1128{,}84-(-1081{,}44)=-1128{,}84+1081{,}44=-47{,}40\\ \mathrm{kJ/mol}çã
Interpretação imediata: \Delta G^\circ_{\text{reação}}=-47{,}40\\ \mathrm{kJ/mol}çã (negativo), o que indica que, termodinamicamente, a formação de \mathrm{CaCO}_3 sólido a partir dos íons é favorecida sob condições padrão.

Passo 3

Relacionar \Delta G^\circ com a constante de equilíbrio K e preparar os valores numéricos (unidades consistentes).
Fórmula:
\Delta G^\circ=-R\,T\,\ln(K)
Onde:
  • R é a constante dos gases: R=8{,}314462618\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
  • T é a temperatura absoluta em kelvin: T=298{,}15\\ \mathrm{K}.
  • \Delta G^\circ precisa estar em \mathrm{J/mol} para usar R nessas unidades.
Converter \Delta G^\circ para \mathrm{J/mol}:
\Delta G^\circ=-47{,}40\\ \mathrm{kJ/mol}=-47400\\ \mathrm{J/mol}
Calcular R\,T:
R\,T=8{,}314462618\times 298{,}15\approx 2478{,}957\\ \mathrm{J/mol}

Passo 4

Resolver para \ln(K) e depois para K.
Isolando \ln(K):
\ln(K)=-\dfrac{\Delta G^\circ}{R\,T}=-\dfrac{-47400}{2478{,}957}=\dfrac{47400}{2478{,}957}\approx 19{,}12
Agora calcular K:
K=\exp(19{,}12)\approx 2{,}03\times 10^{8}
Também é útil ver o logaritmo decimal:
\log_{10}K=\dfrac{\ln(K)}{\ln(10)}\approx \dfrac{19{,}12}{2{,}302585}\approx 8{,}303
ou seja K\approx 10^{8{,}303}.
Observação sobre o termo K_{sp}: normalmente, o produto iônico (constante de solubilidade) para a reação de dissolução
\mathrm{CaCO}_3(s)\leftrightarrow \mathrm{Ca}^{2+}+\mathrm{CO}_3^{2-}
é definido como K_{sp}=[\mathrm{Ca}^{2+}][\mathrm{CO}_3^{2-}]. Para essa dissolução K_{sp} é o inverso da constante que acabamos de calcular (porque nossas reações são opostas). Assim:
K_{sp}=\dfrac{1}{K}\approx \dfrac{1}{2{,}03\times 10^{8}}\approx 4{,}92\times 10^{-9}\approx 10^{-8{,}303}.

Passo 5

Interpretação e escolha da alternativa correta (explicando com cuidado a diferença entre termodinâmica e cinética).
  • Termodinâmica: K\approx 2{,}03\times 10^{8}\gg 1 para a reação escrita como \mathrm{Ca}^{2+}+\mathrm{CO}_3^{2-}\to\mathrm{CaCO}_3(s). Isso significa que, em equilíbrio padrão, a formação do sólido é favorecida (ou seja, a reação “puxa” para a direita).
  • Relacionando com K_{sp} (definido para a dissolução), obtemos K_{sp}\approx 10^{-8{,}303}, um valor pequeno, o que é consistente com a baixa solubilidade do carbonato de cálcio em água.
  • Observação importante (didática): o valor de K (termodinâmica) informa sobre a posição de equilíbrio (favorabilidade), mas não diz nada direto sobre a velocidade experimental (cinética) da precipitação. Entretanto, as alternativas do enunciado misturam esses conceitos. O que as alternativas oferecem:
    • (a) afirma que a reação é rápida, dá K= 2{,}0326\times10^{8} e conclui que precisamos de pouco reagente para precipitar — o número de K está coerente com nosso cálculo e a conclusão sobre “pouco reagente” faz sentido termodinâmico: como a formação do sólido é fortemente favorecida, pequenas quantidades de íons já tendem a deslocar o equilíbrio para o sólido (ou, dito de outra forma, a concentração de íons necessária para alcançar o equilíbrio com sólido é muito baixa — isso corresponde ao pequeno K_{sp}).
    • (b) tem o mesmo K numérico mas conclui o oposto sobre a quantidade de reagente (incoerente).
    • (c) e (d) usam o valor pequeno K_{sp}=10^{-8{,}302} como se fosse a constante para a reação de precipitação (confusão de sinal/definição); além disso, classificam a reação como “lenta”, o que não se segue diretamente da termodinâmica.
  • Conclusão prática para a escolha: o valor numérico que obtivemos para a constante da reação de precipitação é K\approx 2{,}03\times10^{8}, e a interpretação coerente entre as alternativas é a apresentada em (a) (nota: a parte sobre ser “rápida” mistura cinética com termodinâmica, mas a alternativa (a) é a que corresponde corretamente ao valor calculado e à ideia de que pouca concentração de reagentes é suficiente para favorecer a precipitação).

Resposta

a)

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