1.9 I Um campo é dado por \mathbf{G}=\left[25 /\left(x^{2}+y^{2}\right)\right]\left(x \mathbf{a}_{x}+y \mathbf{a}_{y}\right). Encontre: (a) um vetor unitário na direção de \mathbf{G} em P(3,4,-2); (b) o ângulo entre \mathbf{G} e \mathbf{a}_{x} em P; (c) o valor da seguinte integral dupla no plano y=7 :
\int_{0}^{4} \int_{0}^{2} \mathbf{G} \cdot \mathbf{a}_{y} d z d x

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\mathbf{G}(x,y,z)=\frac{25}{x^{2}+y^{2}}\bigl(x\,\mathbf{a}_{x}+y\,\mathbf{a}_{y}\bigr)
e pede: (a) o vetor unitário na direção de \mathbf{G} em P(3,4,-2); (b) o ângulo entre \mathbf{G} e \mathbf{a}_{x} em P; (c) o valor da integral
\int_{0}^{4}\int_{0}^{2}\mathbf{G}\cdot\mathbf{a}_{y}\,dz\,dx
no plano y=7. Vamos usar: cálculo de campo em um ponto, normas, produto escalar para ângulo, e integração de funções de x e z.

Passo 2

Avaliaremos \mathbf{G} em P(3,4,-2). Como o campo não depende de z, basta usar x=3 e y=4:
x^{2}+y^{2}=3^{2}+4^{2}=9+16=25,
então o fator \tfrac{25}{x^{2}+y^{2}}=\tfrac{25}{25}=1. Logo
\mathbf{G}(3,4,-2)=1\,(3\,\mathbf{a}_{x}+4\,\mathbf{a}_{y})=3\,\mathbf{a}_{x}+4\,\mathbf{a}_{y}.
A norma desse vetor é
\bigl\lvert \mathbf{G}(3,4,-2)\bigr\rvert =\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=5.

Passo 3

O vetor unitário na direção de \mathbf{G} em P é
\hat{\mathbf{u}} =\frac{\mathbf{G}(3,4,-2)}{\lvert \mathbf{G}(3,4,-2)\rvert} =\frac{3\,\mathbf{a}_{x}+4\,\mathbf{a}_{y}}{5} =0{,}6\,\mathbf{a}_{x}+0{,}8\,\mathbf{a}_{y}.

Passo 4

Para o ângulo \theta entre \mathbf{G} e \mathbf{a}_{x}, usamos
\cos\theta =\frac{\mathbf{G}(3,4,-2)\cdot\mathbf{a}_{x}} {\lvert \mathbf{G}(3,4,-2)\rvert\;\lvert \mathbf{a}_{x}\rvert} =\frac{3}{5\cdot1}=\frac{3}{5}.
Logo
\theta=\operatorname{arccos}\bigl(\tfrac{3}{5}\bigr)\approx53{,}13^\circ.

Passo 5

No plano y=7, temos
\mathbf{G}\cdot\mathbf{a}_{y} =\frac{25}{x^{2}+7^{2}}\;y =\frac{25\cdot7}{x^{2}+49} =\frac{175}{x^{2}+49}.
A integral dupla
\int_{0}^{4}\int_{0}^{2}\mathbf{G}\cdot\mathbf{a}_{y}\,dz\,dx
se separa em z e x, pois não há z no integrando:
\int_{0}^{4}\int_{0}^{2}\frac{175}{x^{2}+49}\,dz\,dx =\int_{0}^{4}\Bigl[\frac{175}{x^{2}+49}\int_{0}^{2}dz\Bigr]dx =\int_{0}^{4}\frac{175\cdot2}{x^{2}+49}\,dx =350\int_{0}^{4}\frac{dx}{x^{2}+49}.
Usando
\int\frac{dx}{x^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{a}\bigr),
com a=7, vem
350\int_{0}^{4}\frac{dx}{x^{2}+49} =350\cdot\frac{1}{7}\Bigl[\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{7}\bigr)\Bigr]_{0}^{4} =50\bigl[\arctan\!\bigl(\tfrac{4}{7}\bigr)-0\bigr] =50\,\arctan\!\bigl(\tfrac{4}{7}\bigr)\approx25{,}9.

Resposta

(a) \displaystyle 0{,}6\,\mathbf{a}_{x}+0{,}8\,\mathbf{a}_{y}.
(b) \displaystyle \theta=\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{3}{5}\bigr)\approx53{,}13^\circ.
(c) \displaystyle 50\,\arctan\!\bigl(\tfrac{4}{7}\bigr)\approx25{,}9.

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