QUESTÃO 27

Uma função y: R \rightarrow R é definida pela sentença a seguir:
y(x)=\sqrt{x \sqrt{(x+3) \sqrt{x \sqrt{(x+3) \sqrt{x \ldots}}}}}
Sendo assim, calcule o valor de y^{\prime}(1) e assinale a opção correta.
(A) 3 / 2
(B) 3 / 4
(C) 3 / 8
(D) 1 / 4
(E) 1 / 8

Passo 1

O enunciado descreve a função infinita aninhada
y(x)=\sqrt{x\;\sqrt{(x+3)\;\sqrt{x\;\sqrt{(x+3)\;\cdots}}}}
e pede y'(1). O conteúdo aqui é reconhecer o padrão periódico de período 2 na cadeia de raízes e traduzi-lo em um sistema de equações algébricas para obter uma expressão fechada de y(x).

Passo 2

Como o aninhamento alterna entre um fator x e um fator (x+3), definimos
y=\sqrt{x\,z} \quad\text{e}\quad z=\sqrt{(x+3)\,y}\,.
Da primeira equação obtemos y^2=x\,z, isto é,
z=\frac{y^2}{x}.
Da segunda, z^2=(x+3)\,y. Substituindo z=y^2/x nesta, vem
\Bigl(\frac{y^2}{x}\Bigr)^2=(x+3)\,y \quad\Longrightarrow\quad \frac{y^4}{x^2}=(x+3)\,y \quad\Longrightarrow\quad y^3=x^2\,(x+3).

Passo 3

Extraímos a expressão fechada de y:
y(x)=\bigl[x^2(x+3)\bigr]^{1/3}.

Passo 4

Para derivar, note que se y=f(x)^{1/3} com f(x)=x^2(x+3), então
y'=\frac{1}{3}\,f(x)^{-2/3}\,f'(x).
Como f'(x)=2x(x+3)+x^2\cdot1=3x^2+6x=3x(x+2), obtemos
y'(x) =\frac{1}{3}\,\bigl[x^2(x+3)\bigr]^{-2/3}\,\bigl(3x(x+2)\bigr) =\frac{x(x+2)}{\bigl[x^2(x+3)\bigr]^{2/3}}.

Passo 5

Agora avaliamos em x=1:
y'(1) =\frac{1\cdot(1+2)}{\bigl[1^2\cdot(1+3)\bigr]^{2/3}} =\frac{3}{4^{2/3}}.
Note que 4^{2/3}=(2^2)^{2/3}=2^{4/3}, de modo que
y'(1)=\frac{3}{2^{4/3}}\approx1{,}19,
e nenhuma das alternativas dadas \bigl\{\tfrac32,\tfrac34,\tfrac38,\tfrac14,\tfrac18\bigr\} coincide com este valor.

Resposta

Nenhuma das opções dadas.

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