$
(a)
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{2}+2 x+1}{2 x^{2}-x+3}$

Passo 1

O enunciado pede o limite \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\frac{x^{2}+2x+1}{2x^{2}-x+3}.
Este tipo de limite envolve uma função racional; a estratégia é dividir numerador e denominador pelo maior grau de x, que aqui é x^{2}.

Passo 2

Dividimos numerador e denominador por x^{2}:
\frac{x^{2}+2x+1}{2x^{2}-x+3} = \frac{1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{2 - \frac{1}{x} + \frac{3}{x^{2}}}.

Passo 3

À medida que x \to +\infty, vale \tfrac{2}{x}\to 0, \tfrac{1}{x^{2}}\to 0 e \tfrac{1}{x}\to 0.
Logo o quociente tende a
\frac{1 + 0 + 0}{2 - 0 + 0} = \frac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}

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