I - Se P é uma projeção ortogonal em um plano do R^3, então det(P-I)=0.
II - Se T é uma projeção ortogonal em uma reta do R^3, então det(T+2 I)=0.
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Todas são falsas.
© Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! Aqui temos duas afirmações sobre projeções ortogonais em e precisamos verificar quais delas são verdadeiras. Para isso, vamos usar conceitos de matrizes de projeção, determinantes e suas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma projeção ortogonal. Uma projeção ortogonal em um espaço euclidiano é uma transformação linear que “projeta” vetores desse espaço em um subespaço específico, mantendo a perpendicularidade. No caso, temos projeções em um plano e em uma reta no .

Passo 3

Vamos analisar a afirmação I:
“Se det(P - I) = 0 times (-1) times (-1) = 0 é uma projeção ortogonal em um plano do , então .”
Sabemos que, para uma projeção ortogonal em um plano, é idempotente ( ) e simétrica ( ). Além disso, as autovalores de uma projeção ortogonal são 1 e 0, onde 1 corresponde aos vetores no subespaço de projeção e 0 aos vetores no complemento ortogonal.
Então, os autovalores de serão e . Como o determinante de uma matriz é o produto de seus autovalores, teremos:
Portanto, a afirmação I é verdadeira.

Passo 4

Agora, vamos para a afirmação II:
“Se det(T + 2I) = 3 times 2 times 2 = 12 neq 0 é uma projeção ortogonal em uma reta do , então .”
Novamente, é idempotente e simétrica. Para uma projeção em uma reta, os autovalores de são 1 (para vetores na reta) e 0 (para vetores no plano perpendicular à reta). Os autovalores de serão e .
Calculando o determinante:
Portanto, a afirmação II é falsa.

Resposta

(A) Apenas I é verdadeira.

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