I - Se
e
são autovetores associados a autovalores distintos de uma matriz simétrica, então
.
II - Se
e
, então
possui 6 autovalores reais distintos.
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Apenas II é verdadeira.
© Todas são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Não sei
II - Se
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Apenas II é verdadeira.
© Todas são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Não sei
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas afirmações sobre matrizes simétricas e suas propriedades relacionadas a autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes simétricas, autovalores, autovetores e a relação entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a Afirmação I: “Se
e
são autovetores associados a autovalores distintos de uma matriz simétrica, então
.”
Aqui,
representa o produto interno (ou produto escalar) entre os vetores
e
. A afirmação está dizendo que se temos uma matriz simétrica e dois de seus autovetores correspondem a autovalores diferentes, então esses autovetores são ortogonais (ou seja, seu produto interno é zero).
Sabemos que, para matrizes simétricas, autovetores associados a autovalores distintos são de fato ortogonais. Isso é um resultado padrão em álgebra linear e é verdade para qualquer matriz simétrica.
Passo 3
Agora, vamos considerar a Afirmação II: “Se
e
, então
possui 6 autovalores reais distintos.”
Aqui,
indica que a matriz
é simétrica. Sabemos que matrizes simétricas possuem todos os autovalores reais, mas a afirmação adicional de que todos os 6 autovalores são distintos não é necessariamente verdadeira. Uma matriz simétrica pode ter autovalores múltiplos, ou seja, mais de um autovetor pode corresponder ao mesmo autovalor.
Portanto, enquanto é verdade que todos os autovalores são reais, não podemos garantir que eles sejam todos distintos apenas porque a matriz é simétrica.
Passo 4
Com base nas análises anteriores:
- Afirmação I é verdadeira, pois autovetores de uma matriz simétrica com autovalores distintos são ortogonais.
- Afirmação II é falsa, porque uma matriz simétrica pode ter autovalores repetidos, ou seja, não necessariamente todos os 6 são distintos.
Resposta
(A) Apenas I é verdadeira.