c) Se A é idempotente, mostre que B=I-A é idempotente e que A B=B A=0.
24. Dizemos que uma matriz A é nilpotente se existir um inteiro k>0, tal que A^{k}=0. Mostre que, se A é nilpotente, A não é inversível. Use esse fato para mostrar que a matriz abaixo não é inversível
A=\left[\begin{array}{llll} 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 2 & 3 & 0 & 0 \\\\ 4 & 5 & 6 & 0 \end{array}\right]_{4 \times 4}

Passo 1

O enunciado tem duas partes. Na letra (c) diz que A é idempotente A^2=A e pede para mostrar que B=I-A também é idempotente e que AB=BA=0. Na questão 24 lembramos que A é nilpotente se existe k>0 tal que A^k=0, e devemos provar que toda matriz nilpotente não é invertível e, em seguida, aplicar isso à matriz
A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\[6pt] 1 & 0 & 0 & 0 \\[6pt] 2 & 3 & 0 & 0 \\[6pt] 4 & 5 & 6 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 2

Para B=I-A mostramos a idempotência calculando
B^2 = (I-A)^2 = I - 2A + A^2.
Como A é idempotente, A^2 = A. Substituindo obtemos
B^2 = I - 2A + A = I - A = B,
prova de que B é idempotente.

Passo 3

Ainda com B=I-A, calculamos
AB = A(I-A) = A - A^2 = A - A = 0
e
BA = (I-A)A = A - A^2 = A - A = 0.
Logo AB=BA=0.

Passo 4

Se A é nilpotente, existe k tal que A^k=0. Se, por absurdo, A fosse invertível, multiplicaríamos A^k=0 pela inversa A^{-1} para obter
A^{k-1} = A^{-1}A^k = A^{-1}\,0 = 0.
Repetindo esse argumento, chegaríamos a A=0 e depois a I=0, contradição. Portanto nenhuma matriz nilpotente pode ser invertível.

Passo 5

A matriz dada é estritamente triangular inferior (todos os elementos da diagonal principal são zero). Sabe-se que toda matriz estritamente triangular de ordem n satisfaz A^n=0. Aqui n=4, então
A^4 = 0,
isto é, A é nilpotente e, pelo passo 4, não pode ser invertível.

Resposta

c) B=I-A satisfaz
B^2=B \quad\text{e}\quad AB=BA=0.
  1. A matriz dada é nilpotente A^4=0, logo não é invertível.

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