Use o desenvolvimento de Laplace para calcular o determinante da matriz
A=\left(\begin{array}{ccccc} 2 & 7 & 9 & -1 & 1 \\ 2 & 8 & 3 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 4 & 3 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)_{5 \times 5}

Passo 1

O enunciado pede o determinante da matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & 7 & 9 & -1 & 1\\\\ 2 & 8 & 3 & 1 & 0\\\\ -1 & 0 & 4 & 3 & 0\\\\ 2 & 0 & 0 & -1 & 0\\\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
O truque é usar desenvolvimento de Laplace na quinta linha, que tem muitos zeros.

Passo 2

Ao expandir pela quinta linha só o elemento a_{51}=1 contribui. A fórmula de Laplace dá
\det(A) =\sum_{j=1}^5(-1)^{5+j}a_{5j}\det(M_{5j}) =(-1)^{5+1}\cdot1\cdot\det(M_{51}) =+\det(M_{51}),
onde M_{51} é a submatriz obtida de A tirando a quinta linha e a primeira coluna.

Passo 3

Escrevendo M_{51} (que é 4\times4) obtemos
M_{51}=\begin{pmatrix} 7 & 9 & -1 & 1\\\\ 8 & 3 & 1 & 0\\\\ 0 & 4 & 3 & 0\\\\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 4

Note que na última coluna de M_{51} só o elemento (1,4) é não nulo =1. Então, expandindo por essa coluna,
\det(M_{51}) =(-1)^{1+4}\cdot1\cdot\det(N) =-\det(N),
onde N é a submatriz 3\times3 que sobra ao remover linha 1 e coluna 4 de M_{51}.

Passo 5

A matriz N é
N=\begin{pmatrix} 8 & 3 & 1\\\\ 0 & 4 & 3\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix},
que é triangular. Logo
\det(N)=8\cdot4\cdot(-1)=-32.

Passo 6

Substituindo em \det(M_{51})=-\det(N) vem
\det(M_{51})=-(-32)=32,
e, portanto,
\det(A)=\det(M_{51})=32.

Resposta

32

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