Identificar, se existirem, os valores de x \in D(f) nos quais a função f(x) não é contínua:
f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\ln (x+1) & \text { se } x \geq 0 \\\\ -x & \text { se } x<0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} \ln(x+1),&x\ge 0,\\\\ -\,x,&x<0, \end{cases}
e pede para identificar em quais pontos de D(f) a função não é contínua. O conteúdo aqui é análise de continuidade de função definida por partes: precisamos checar a continuidade de cada ramo em seu interior e, principalmente, no ponto de transição x=0.

Passo 2

Determinar o domínio D(f).
Para x<0 usamos -x, que está definido para todo x<0.
Para x\ge0 usamos \ln(x+1), cujo domínio é x+1>0, isto é, x>-1. Como estamos restritos a x\ge0, esse ramo está bem definido em [0,\infty).
Logo
D(f)=(-\infty,0)\,\cup\,[0,\infty)=\mathbb{R}.

Passo 3

Verificar continuidade nos interiores dos ramos:
  • Em (-\infty,0), a função é f(x)=-x, que é polinomial, portanto contínua em todo (-\infty,0).
  • Em (0,\infty), a função é f(x)=\ln(x+1), que é continuamente diferenciável em seu domínio (0,\infty).

Passo 4

Verificar continuidade em x=0.
Calcular os limites laterais:
\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}(-x)=0,
\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}\ln(x+1)=\ln1=0.
Além disso, o valor da função em 0 é
f(0)=\ln(0+1)=0.
Como \lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^+}f(x)=f(0), a função é contínua em x=0.

Resposta

A função f é contínua em todo o seu domínio; não existem pontos de descontinuidade.

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