Identificar, se existirem, os valores de x \in D(f) nos quais a função f(x) não é contínua:
f(x)=\frac{2}{e^{x}-e^{-x}}

Passo 1

O enunciado pede para identificar, dentro de D(f), os pontos em que
f(x)=\frac{2}{e^{x}-e^{-x}}
não é contínua. O conteúdo é continuidade de funções elementares e vamos precisar (1) determinar D(f) e (2) verificar continuidade em cada ponto desse domínio.

Passo 2

Para encontrar D(f) observamos que o denominador não pode ser zero:
e^{x}-e^{-x}\neq 0.
Note que
e^{x}-e^{-x}=e^{-x}\bigl(e^{2x}-1\bigr),
então a condição é
e^{2x}-1\neq 0\quad\Longrightarrow\quad e^{2x}\neq 1\quad\Longrightarrow\quad 2x\neq 0\quad\Longrightarrow\quad x\neq 0.
Logo
D(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\}.

Passo 3

Para x\in D(f) temos e^{x} e e^{-x} bem definidas e não nulas e operações de soma, subtração e inversão são todas contínuas onde estão definidas. Como composição de funções contínuas, concluímos que f é contínua em todo ponto de D(f).

Resposta

Não existe x\in D(f) em que f deixe de ser contínua; em outras palavras, f é contínua em todo o seu domínio \mathbb{R}\setminus\{0\}.

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