Identifique cada série a seguir como série de encaixe ou série geométrica e calcule o valor da sua soma, nos casos em que a série convergir.
(c)
(c)
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede duas coisas: (1) identificar se a série é uma série de encaixe (telescópica) ou uma série geométrica; (2) caso a série converja, calcular o valor da sua soma. As informações relevantes são a expressão geral do termo geral
para
.
Passo 2
Vamos tentar simplificar o termo geral fatorando o denominador. Para fatorar a quadrática em
procedo assim: calculo as raízes de
. O discriminante é
logo
. As raízes são
Isso dá
e
. Portanto a fatoração em termos lineares em
é
Confiro expandindo:
portanto a fatoração está correta.
Passo 3
Agora escrevo o termo geral como uma soma de frações simples (decomposição em frações parciais), que costuma produzir uma forma telescópica. Procuro constantes
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Agrupando termos em
e constantes:
Igualando coeficientes do polinômio em
obtemos o sistema
Da primeira equação vem
. Substituindo na segunda:
Passo 4
Com
e
temos a identidade
Esta é exatamente a forma de uma série telescópica (série de encaixe): cada termo é a diferença de duas frações cujos termos se repetem deslocados entre os valores de
, fazendo muitas soma e subtrações se cancelarem quando somamos vários termos. Vou escrever os primeiros termos para ver o cancelamento:
Somando de
até
(somatório parcial
) ocorre cancelamento em cascata:
Esse passo é obtido porque cada
cancela com o
do termo seguinte, restando apenas o primeiro positivo
e o último negativo
.]
Passo 5
Para verificar convergência e achar a soma tomamos o limite quando
:
Portanto a série converge e sua soma é
. Também já classificamos a série: é uma série de encaixe (telescópica), não uma série geométrica.
Resposta
Série de encaixe (telescópica).
Soma .
Soma