Identifique cada série a seguir como série de encaixe ou série geométrica e calcule o valor da sua soma, nos casos em que a série convergir.
(c) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{9 n^{2}-3 n-2}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{9 n^{2}-3 n-2}
e pede duas coisas: (1) identificar se a série é uma série de encaixe (telescópica) ou uma série geométrica; (2) caso a série converja, calcular o valor da sua soma. As informações relevantes são a expressão geral do termo geral \dfrac{3}{9n^{2}-3n-2} para n\ge 1.

Passo 2

Vamos tentar simplificar o termo geral fatorando o denominador. Para fatorar a quadrática em n procedo assim: calculo as raízes de 9n^{2}-3n-2. O discriminante é
\Delta = (-3)^{2}-4\cdot 9\cdot(-2)=9+72=81,
logo \sqrt{\Delta}=9. As raízes são
n=\frac{3\pm 9}{18}.
Isso dá n=\dfrac{12}{18}=\dfrac{2}{3} e n=\dfrac{-6}{18}=-\dfrac{1}{3}. Portanto a fatoração em termos lineares em n é
9n^{2}-3n-2=(3n-2)(3n+1).
Confiro expandindo:
(3n-2)(3n+1)=9n^{2}-6n+3n-2=9n^{2}-3n-2,
portanto a fatoração está correta.

Passo 3

Agora escrevo o termo geral como uma soma de frações simples (decomposição em frações parciais), que costuma produzir uma forma telescópica. Procuro constantes A\) e \(B\) tais que \[\frac{3}{(3n-2)(3n+1)}=\frac{A}{3n-2}+\frac{B}{3n+1}.
Multiplicando ambos os lados por (3n-2)(3n+1) obtemos
3=A(3n+1)+B(3n-2).
Agrupando termos em n e constantes:
3=(3A+3B)n+(A-2B).
Igualando coeficientes do polinômio em n obtemos o sistema
\begin{cases} 3A+3B=0,\\[4pt] A-2B=3. \end{cases}
Da primeira equação vem A+B=0\], ou seja \(B=-A. Substituindo na segunda:
A-2(-A)=3 \implies 3A=3 \implies A=1,\quad B=-1.]

Passo 4

Com A=1 e B=-1 temos a identidade
\frac{3}{9n^{2}-3n-2}=\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}.
Esta é exatamente a forma de uma série telescópica (série de encaixe): cada termo é a diferença de duas frações cujos termos se repetem deslocados entre os valores de n, fazendo muitas soma e subtrações se cancelarem quando somamos vários termos. Vou escrever os primeiros termos para ver o cancelamento:
\begin{aligned} n=1:&\quad \frac{1}{1}-\frac{1}{4},\\[4pt] n=2:&\quad \frac{1}{4}-\frac{1}{7},\\[4pt] n=3:&\quad \frac{1}{7}-\frac{1}{10},\\[4pt] &\\ \vdots\\[4pt] n=N:&\quad \frac{1}{3N-2}-\frac{1}{3N+1}. \end{aligned}
Somando de n=1 até n=N (somatório parcial S_N) ocorre cancelamento em cascata:
S_N=\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}\right) =1-\frac{1}{3N+1}.
Esse passo é obtido porque cada -\dfrac{1}{3n+1} cancela com o +\dfrac{1}{3(n+1)-2}=\dfrac{1}{3n+1} do termo seguinte, restando apenas o primeiro positivo 1=\dfrac{1}{1} e o último negativo -\dfrac{1}{3N+1}.]

Passo 5

Para verificar convergência e achar a soma tomamos o limite quando N\to\infty:
\lim_{N\to\infty} S_N=\lim_{N\to\infty}\left(1-\frac{1}{3N+1}\right)=1-0=1.
Portanto a série converge e sua soma é 1. Também já classificamos a série: é uma série de encaixe (telescópica), não uma série geométrica.

Resposta

Série de encaixe (telescópica).
Soma =1.

Exercícios relacionados