Identifique cada série a seguir como série de encaixe ou série geométrica e calcule o valor da sua soma, nos casos em que a série convergir.
(e)
(e)
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede duas coisas: identificar se a série é uma série de encaixe (telescópica) ou uma série geométrica, e — se a série convergir — calcular o valor da soma.
Informações relevantes que temos: o termo geral é e a soma começa em
e vai até infinito.
Informações relevantes que temos: o termo geral é
Passo 2
Primeiro passo técnico útil: fatorar o denominador. Reconhecemos uma diferença de quadrados:
Então o termo geral pode ser escrito como
Passo 3
Agora vamos decompor o termo em frações parciais — isso é uma técnica padrão que normalmente leva a séries telescópicas quando o denominador é produto de fatores lineares consecutivos. Procuramos constantes
e
tais que
Multiplicando pelos denominadores obtemos
Agrupando termos em
e constantes:
Para essa igualdade valer para todo
precisamos que os coeficientes correspondentes sejam iguais. Portanto
Da primeira equação vem
. Substituindo na segunda:
Então
. Assim a decomposição é
Passo 4
Com a forma em frações parciais vista no passo anterior, vemos que o termo é a diferença entre dois termos de uma mesma sequência de recíprocos de números ímpares consecutivos. Isso é a característica típica de uma série telescópica (série de encaixe): quando somamos esses termos consecutivos, muitas parcelas internas se cancelam. Portanto a série é uma série de encaixe (telescópica), não uma série geométrica. (Rápida nota sobre séries geométricas: uma série geométrica tem termo geral da forma
ou
com razão fixa
; aqui não é o caso.)
Passo 5
Agora calculamos a soma parcial até um índice
. Defina a soma parcial
Usando a decomposição em frações parciais:
Escrevendo os primeiros termos para ver o cancelamento:
Observe que muitos termos internos cancelam em cadeia:
cancela com
,
cancela com
, e assim por diante. Após o cancelamento sobra apenas o primeiro pedaço do primeiro parêntese e o último negativo do último parêntese. Assim
Passo 6
Para obter a soma da série, tomamos o limite quando
. Note que
Portanto
Logo a série converge e sua soma é
.
Passo 7
Recapitulando de forma direta e amigável: usamos fatoração e frações parciais para transformar o termo em uma diferença que telescopa; expandimos a soma parcial, vimos o cancelamento em cadeia e calculamos o limite da soma parcial para obter a soma total. Você conseguiu — deu trabalho, mas o truque principal é sempre tentar fatorar e fazer frações parciais quando o denominador é produto de fatores lineares próximos.
Resposta
Série de encaixe (telescópica).