Identifique cada série a seguir como série de encaixe ou série geométrica e calcule o valor da sua soma, nos casos em que a série convergir.
(e) \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{4 n^{2}-1}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{4n^{2}-1}
e pede duas coisas: identificar se a série é uma série de encaixe (telescópica) ou uma série geométrica, e — se a série convergir — calcular o valor da soma.
Informações relevantes que temos: o termo geral é \dfrac{1}{4n^{2}-1} e a soma começa em n=3 e vai até infinito.

Passo 2

Primeiro passo técnico útil: fatorar o denominador. Reconhecemos uma diferença de quadrados:
4n^{2}-1=(2n)^{2}-1^{2}=(2n-1)(2n+1).
Então o termo geral pode ser escrito como
\frac{1}{4n^{2}-1}=\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}.

Passo 3

Agora vamos decompor o termo em frações parciais — isso é uma técnica padrão que normalmente leva a séries telescópicas quando o denominador é produto de fatores lineares consecutivos. Procuramos constantes A e B tais que
\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{A}{2n-1}+\frac{B}{2n+1}.
Multiplicando pelos denominadores obtemos
1=A(2n+1)+B(2n-1).
Agrupando termos em n e constantes:
1=(2A+2B)n+(A-B).
Para essa igualdade valer para todo n precisamos que os coeficientes correspondentes sejam iguais. Portanto
2A+2B=0\quad\text{e}\quad A-B=1.
Da primeira equação vem A=-B. Substituindo na segunda:
A-(-A)=1 \implies 2A=1 \implies A=\tfrac{1}{2}.
Então B=-\tfrac{1}{2}. Assim a decomposição é
\frac{1}{4n^{2}-1}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right).

Passo 4

Com a forma em frações parciais vista no passo anterior, vemos que o termo é a diferença entre dois termos de uma mesma sequência de recíprocos de números ímpares consecutivos. Isso é a característica típica de uma série telescópica (série de encaixe): quando somamos esses termos consecutivos, muitas parcelas internas se cancelam. Portanto a série é uma série de encaixe (telescópica), não uma série geométrica. (Rápida nota sobre séries geométricas: uma série geométrica tem termo geral da forma \,ar^{n}\, ou \,ar^{n-1}\, com razão fixa r; aqui não é o caso.)

Passo 5

Agora calculamos a soma parcial até um índice N. Defina a soma parcial
S_{N}=\sum_{n=3}^{N}\frac{1}{4n^{2}-1}.
Usando a decomposição em frações parciais:
S_{N}=\frac{1}{2}\sum_{n=3}^{N}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right).
Escrevendo os primeiros termos para ver o cancelamento:
\begin{aligned} S_{N} &=\frac{1}{2}\Big[\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\right) +\left(\frac{1}{7}-\frac{1}{9}\right) +\left(\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{2N-1}-\frac{1}{2N+1}\right)\Big]. \end{aligned}
Observe que muitos termos internos cancelam em cadeia: -\frac{1}{7} cancela com +\frac{1}{7}, -\frac{1}{9} cancela com +\frac{1}{9}, e assim por diante. Após o cancelamento sobra apenas o primeiro pedaço do primeiro parêntese e o último negativo do último parêntese. Assim
S_{N}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{2N+1}\right).

Passo 6

Para obter a soma da série, tomamos o limite quando N\to\infty. Note que
\lim_{N\to\infty}\frac{1}{2N+1}=0.
Portanto
\sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{4n^{2}-1}=\lim_{N\to\infty}S_{N} =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{5}-0\right)=\frac{1}{10}.
Logo a série converge e sua soma é \dfrac{1}{10}.

Passo 7

Recapitulando de forma direta e amigável: usamos fatoração e frações parciais para transformar o termo em uma diferença que telescopa; expandimos a soma parcial, vimos o cancelamento em cadeia e calculamos o limite da soma parcial para obter a soma total. Você conseguiu — deu trabalho, mas o truque principal é sempre tentar fatorar e fazer frações parciais quando o denominador é produto de fatores lineares próximos.

Resposta

Série de encaixe (telescópica).
\displaystyle \sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{4n^{2}-1}=\frac{1}{10}

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