Identifique quais equações diferenciais ordinárias de primeira ordem dadas são lineares ou não lineares. Determine as respectivas soluções gerais, onde \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} e \boldsymbol{w} são constantes. Tente usar todos os métodos de resolução estudados, conforme cada caso.
\boldsymbol{x} \boldsymbol{y}^{\prime}+\boldsymbol{y}=\boldsymbol{y}^{2}

Passo 1

O enunciado dá a EDO de primeira ordem
x\,\frac{dy}{dx} + y = y^2.
Precisamos classificar se é linear ou não e, em seguida, encontrar a solução geral. Lembrando que uma EDO de 1ª ordem é linear se puder ser escrita como
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x).
Aqui aparece o termo y^2, logo não é linear. Porém podemos tratá-la como separável.

Passo 2

Isolo \tfrac{dy}{dx} e coloco todos os termos em y de um lado e os de x do outro:
x\,\frac{dy}{dx} = y^2 - y = y(y-1) \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = \frac{y(y-1)}{x}.
Isso mostra que é separável.

Passo 3

Faço a separação de variáveis:
\frac{dy}{y(y-1)} = \frac{dx}{x}.
Para integrar o lado esquerdo, uso frações parciais:
\frac{1}{y(y-1)} = -\frac{1}{y} + \frac{1}{y-1},
logo
\int\!\Bigl(-\tfrac{1}{y}+\tfrac{1}{y-1}\Bigr)dy = \int\!\frac{dx}{x}.

Passo 4

Integro ambos os lados:
-\ln|y| + \ln|y-1| = \ln|x| + C.
Agrupando logaritmos,
\ln\Bigl|\frac{y-1}{y}\Bigr| = \ln|x| + C \quad\Longrightarrow\quad \Bigl|\frac{y-1}{y}\Bigr| = e^C\,|x|.
Defino a constante genérica K=\pm e^C, obtendo
\frac{y-1}{y} = Kx \;\Longrightarrow\; y(1 - Kx) = 1 \;\Longrightarrow\; y(x) = \frac{1}{1 - Kx}.

Passo 5

Ao separar, dividimos por y e por y-1, então perdemos possíveis soluções constantes. Verifico diretamente na EDO original com y'=0:
x\cdot0 + y = y^2 \;\Longrightarrow\; y = y^2 \;\Longrightarrow\; y=0\text{ ou }y=1.
Portanto, estas também são soluções.

Resposta

A EDO é não linear (mas é separável).
A solução geral não constante é
y(x) = \frac{1}{1 - Kx},
com K constante arbitrária.
Há ainda as soluções constantes
y(x) = 0 \quad\text{e}\quad y(x) = 1.

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