Identifique quais equações diferenciais ordinárias de primeira ordem dadas são lineares ou não lineares. Determine as respectivas soluções gerais, onde \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} e \boldsymbol{w} são constantes. Tente usar todos os métodos de resolução estudados, conforme cada caso.
\boldsymbol{y}^{\prime}+\boldsymbol{y}=\mathbf{2}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
y' + y = 2
que é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem com coeficientes constantes. Vamos identificar se ela é linear e encontrar a solução geral usando dois métodos: separação de variáveis e fator integrante.

Passo 2

A equação está na forma
y' + P(x)\,y = Q(x)
com P(x)=1 e Q(x)=2. Como aparece y' de primeira ordem e y de forma linear (sem produtos ou potências de y), concluímos que é uma EDO linear de primeira ordem.

Passo 3

Método da separação de variáveis. Reescrevemos
y' = 2 - y
ou seja
\frac{dy}{dx} = 2 - y \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{2 - y} = dx.
Integramos ambos os lados:
\int \frac{dy}{2 - y} = \int dx \quad\Longrightarrow\quad -\,\ln\bigl|2 - y\bigr| = x + C_1.
Isolando y:
\ln\bigl|2 - y\bigr| = -x + C_2 \quad\Longrightarrow\quad 2 - y = C\,e^{-x} \quad\Longrightarrow\quad y = 2 - C\,e^{-x},
onde C é constante arbitrária.

Passo 4

Método do fator integrante. Identificamos P(x)=1, então
\mu(x) = e^{\int P(x)\,dx} = e^{\int 1\,dx} = e^{x}.
Multiplicando a equação original por \mu(x):
e^{x}y' + e^{x}y = 2e^{x} \quad\Longrightarrow\quad \bigl(e^{x}y\bigr)' = 2e^{x}.
Integramos:
e^{x}y = \int 2e^{x}\,dx = 2e^{x} + C_3 \quad\Longrightarrow\quad y = 2 + C_3\,e^{-x}.
Renomeando C_3\to -C, obtém-se a mesma forma de solução.

Resposta

A equação y' + y = 2 é linear de primeira ordem. A solução geral é
y(x) = 2 + C\,e^{-x},
onde C é constante arbitrária.

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