Identifique quais equações diferenciais ordinárias de primeira ordem dadas são lineares ou não lineares. Determine as respectivas soluções gerais, onde \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} e \boldsymbol{w} são constantes. Tente usar todos os métodos de resolução estudados, conforme cada caso.
\boldsymbol{y}^{\prime}=3 \boldsymbol{y}-\boldsymbol{y}^{2}-\mathbf{2}

Passo 1

O enunciado dá a EDO de primeira ordem
y' = 3y - y^2 - 2
e pede para identificar se é linear ou não, e achar a solução geral. Para resolver, vamos usar o método de variáveis separáveis, que funciona sempre que a equação puder ser escrita como \frac{dy}{dx}=f(y)\,g(x).

Passo 2

Uma EDO de primeira ordem é dita linear se puder ser posta na forma
y' + p(x)\,y = q(x).
Aqui temos
y' = 3y - y^2 - 2 \quad\Longrightarrow\quad y' - 3y = -\,y^2 - 2,
e a presença do termo -y^2 torna a equação não linear.

Passo 3

Reescrevemos a equação como função só de y:
\frac{dy}{dx} = 3y - y^2 - 2 = -(y^2 - 3y + 2).
Fatorando o polinômio quadrático:
y^2 - 3y + 2 = (y-1)(y-2),
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\frac{dy}{dx} = -\,(y-1)(y-2).

Passo 4

Separamos as variáveis, passando tudo que envolve y para o lado esquerdo e dx para o direito:
\frac{dy}{(y-1)(y-2)} = -\,dx.

Passo 5

Fazemos a decomposição em frações parciais:
\frac{1}{(y-1)(y-2)} = \frac{A}{y-1} + \frac{B}{y-2},
onde
1 = A(y-2) + B(y-1).
Tomando y=2 1=B. Tomando y=1 1=-A. Assim A=-1 e B=1, ou seja
\frac{1}{(y-1)(y-2)} = -\frac{1}{y-1} + \frac{1}{y-2}.

Passo 6

Integramos ambos os lados:
\int\Bigl(-\tfrac{1}{y-1} + \tfrac{1}{y-2}\Bigr)\,dy = \int -\,dx.
Isso dá
-\ln\bigl|y-1\bigr| + \ln\bigl|y-2\bigr| = -x + \boldsymbol{C},
onde \boldsymbol{C} é constante de integração.

Passo 7

Reunindo os logaritmos:
\ln\!\biggl|\frac{y-2}{y-1}\biggr| = -x + \boldsymbol{C} \quad\Longrightarrow\quad \frac{y-2}{y-1} = \boldsymbol{K}\,e^{-x},
com \boldsymbol{K}=e^{\boldsymbol{C}}. Agora isolamos y:
y-2 = \boldsymbol{K}\,e^{-x}\,(y-1) \quad\Longrightarrow\quad y\bigl(1 - \boldsymbol{K}\,e^{-x}\bigr) = 2 - \boldsymbol{K}\,e^{-x},
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y(x) = \frac{2 - \boldsymbol{K}\,e^{-x}}{1 - \boldsymbol{K}\,e^{-x}}.

Resposta

A equação é não linear e a solução geral é
\boxed{y(x) = \frac{2 - \boldsymbol{K}\,e^{-x}}{1 - \boldsymbol{K}\,e^{-x}},}
com \boldsymbol{K} constante arbitrária.

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