Identifique quais equações diferenciais ordinárias de primeira ordem dadas são lineares ou não lineares. Determine as respectivas soluções gerais, onde \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} e \boldsymbol{w} são constantes. Tente usar todos os métodos de resolução estudados, conforme cada caso.
\left(\boldsymbol{y}^{\prime}-\mathbf{1}\right) \boldsymbol{e}^{\boldsymbol{y}}=\mathbf{1}-\boldsymbol{x}

Passo 1

O enunciado apresenta a EDO de primeira ordem
\bigl(y' - 1\bigr)e^{y} = 1 - x
e pede para identificar se ela é linear ou não e, em seguida, determinar a solução geral.

Passo 2

Reescrevendo a equação isolando y':
y' - 1 = (1 - x)e^{-y} \quad\Longrightarrow\quad y' = 1 + (1 - x)e^{-y}.
Como aparece o termo e^{-y} multiplicando x, essa EDO não é linear em y.

Passo 3

Colocamos a equação na forma de diferencial exato. Começamos reescrevendo
(y' - 1)e^{y} = 1 - x \;\Longrightarrow\; e^{y}\,dy - e^{y}\,dx = (1 - x)\,dx
e organizamos como
\underbrace{\bigl(x - e^{y} - 1\bigr)}_{M(x,y)}\,dx \;+\; \underbrace{e^{y}}_{N(x,y)}\,dy =0.

Passo 4

Verificamos que não é exato porque
\frac{\partial M}{\partial y} = -e^{y}, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = 0.
Mas
\frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} = \frac{-e^{y}}{e^{y}} = -1
é função apenas de x. Logo, existe um fator integrante \mu(x) dado por
\mu(x) = e^{\int -1\,dx} = e^{-x}.
Multiplicando toda a equação original por e^{-x}, torna-se exata.

Passo 5

Com a equação exata, temos
M_1(x,y) = (x - e^{y} - 1)e^{-x}, \quad N_1(x,y) = e^{y}e^{-x}.
Buscamos \Psi(x,y) tal que
\frac{\partial \Psi}{\partial x} = M_1, \quad \frac{\partial \Psi}{\partial y} = N_1.
Integrando \partial \Psi/\partial x em relação a x:
\Psi(x,y) = \int \bigl(xe^{-x} - e^{y}e^{-x} - e^{-x}\bigr)\,dx = \Bigl[-(x+1)e^{-x} + e^{y}e^{-x} + e^{-x}\Bigr] + h(y).
Isso simplifica para
\Psi(x,y) = \bigl(e^{y} - x\bigr)e^{-x} + h(y).
Como \partial \Psi/\partial y = e^{y}e^{-x} + h'(y) deve igualar N_1=e^{y}e^{-x}, segue h'(y)=0. Então h é constante.

Resposta

A solução implícita é
\bigl(e^{y} - x\bigr)e^{-x} = C,
onde C é constante de integração. Resolvendo para y,
e^{y - x} = C + x e^{-x} \;\Longrightarrow\; y(x) = x + \ln\bigl(C + x e^{-x}\bigr).

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