Identifique quais equações diferenciais ordinárias de primeira ordem dadas são lineares ou não lineares. Determine as respectivas soluções gerais, onde
e
são constantes. Tente usar todos os métodos de resolução estudados, conforme cada caso.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial de primeira ordem
e pede para identificar se ela é linear e determinar a solução geral. Observamos que o termo
torna a equação não linear, mas ela se encaixa na forma de Bernoulli.
Passo 2
Dividimos toda a equação por 3 para colocá-la em forma padrão
que é do tipo
com
,
e
.
Passo 3
Em equações de Bernoulli usa-se a substituição
que implica
Passo 4
Multiplicamos a forma padrão por
:
Como
, temos
. Substituindo,
e multiplicando tudo por 3 obtemos a equação linear em
:
Passo 5
Para resolver
calculamos o fator integrante
Multiplicando a equação por
e reconhecendo derivada de produto,
Integramos ambos os lados:
Assim
Passo 6
Voltando à variável original
, temos
e portanto a solução geral é
onde
é a constante de integração.