Identifique quais equações diferenciais ordinárias de primeira ordem dadas são lineares ou não lineares. Determine as respectivas soluções gerais, onde \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} e \boldsymbol{w} são constantes. Tente usar todos os métodos de resolução estudados, conforme cada caso.
\boldsymbol{3} \boldsymbol{y}^{\prime}+\boldsymbol{x} \boldsymbol{y}=\boldsymbol{x} \boldsymbol{y}^{-\mathbf{2}}

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial de primeira ordem
3y' + x\,y = x\,y^{-2}
e pede para identificar se ela é linear e determinar a solução geral. Observamos que o termo y^{-2} torna a equação não linear, mas ela se encaixa na forma de Bernoulli.

Passo 2

Dividimos toda a equação por 3 para colocá-la em forma padrão
y' + \frac{x}{3}\,y = \frac{x}{3}\,y^{-2}
que é do tipo
y' + P(x)\,y = Q(x)\,y^{n}
com P(x)=\tfrac{x}{3}, Q(x)=\tfrac{x}{3} e n=-2.

Passo 3

Em equações de Bernoulli usa-se a substituição
z = y^{1 - n} = y^{1-(-2)} = y^{3}
que implica
z' = 3\,y^{2}\,y'.

Passo 4

Multiplicamos a forma padrão por y^{2}:
y^{2}y' + \frac{x}{3}\,y^{3} = \frac{x}{3}\,.
Como z' = 3y^{2}y', temos y^{2}y' = \tfrac{z'}{3}. Substituindo,
\frac{z'}{3} + \frac{x}{3}\,z = \frac{x}{3}
e multiplicando tudo por 3 obtemos a equação linear em z:
z' + x\,z = x\,.

Passo 5

Para resolver
z' + x\,z = x
calculamos o fator integrante
\mu(x) = \exp\Bigl(\int x\,dx\Bigr) = e^{x^{2}/2}.
Multiplicando a equação por \mu(x) e reconhecendo derivada de produto,
\bigl(z\,e^{x^{2}/2}\bigr)' = x\,e^{x^{2}/2}.
Integramos ambos os lados:
z\,e^{x^{2}/2} = \int x\,e^{x^{2}/2}\,dx = e^{x^{2}/2} + C.
Assim
z = 1 + C\,e^{-x^{2}/2}.

Passo 6

Voltando à variável original y, temos
y^{3} = z = 1 + C\,e^{-x^{2}/2}
e portanto a solução geral é
y(x) = \bigl(1 + C\,e^{-x^{2}/2}\bigr)^{1/3}\,,
onde C é a constante de integração.

Resposta

y(x) = \bigl(1 + C\,e^{-x^{2}/2}\bigr)^{1/3}.

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