Identifique quais equações diferenciais ordinárias de primeira ordem dadas são lineares ou não lineares. Determine as respectivas soluções gerais, onde \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} e \boldsymbol{w} são constantes. Tente usar todos os métodos de resolução estudados, conforme cada caso. \boldsymbol{y}^{\prime}=\frac{\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}}{\boldsymbol{y}+\boldsymbol{x}}
Passo 1
O enunciado fornece a equação
y' = \frac{y - x}{y + x},
pede para identificar se é linear ou não e encontrar a solução geral. O conteúdo aqui é EDO de primeira ordem, classificar linearidade e aplicar método de variáveis homogêneas.
Passo 2
Para testar linearidade, tente escrever na forma y' + p(x)\,y = q(x). Não é possível porque o lado direito tem y no denominador — logo é não linear. Observa-se, porém, que
\frac{y - x}{y + x} = f\!\bigl(y/x\bigr),
ou seja, é uma função de y/x. Isso caracteriza uma EDO homogênea de grau zero e permite a substituição
y = v x.
Passo 3
Com y = v x temos
y' = v + x\,\frac{dv}{dx}.
Substituindo na EDO:
v + x\frac{dv}{dx} = \frac{v x - x}{v x + x} = \frac{v - 1}{v + 1},
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x\frac{dv}{dx} = \frac{v-1}{v+1} - v = -\,\frac{v^2+1}{v+1}.