Identifique quais equações diferenciais ordinárias de primeira ordem dadas são lineares ou não lineares. Determine as respectivas soluções gerais, onde \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} e \boldsymbol{w} são constantes. Tente usar todos os métodos de resolução estudados, conforme cada caso.
\boldsymbol{x}^{2} \boldsymbol{y}^{\prime}+\boldsymbol{x} \boldsymbol{y}=\boldsymbol{x}^{2}+\boldsymbol{y}^{2}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
x^{2}y' + x\,y = x^{2} + y^{2}
e pede para identificar se ela é linear ou não linear e, em seguida, determinar a solução geral. O conteúdo envolve classificação de ODEs de 1ª ordem (linear, Bernoulli, Riccati, etc.) e aplicação de métodos adequados (substituições que levem a equações separáveis, por exemplo).

Passo 2

Colocando a equação em forma padrão, dividimos por x^{2} (assumindo x\neq0):
y' + \frac{1}{x}\,y = 1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}.
O termo \tfrac{y^{2}}{x^{2}} faz a equação ser não linear. Mais precisamente, ela é da forma
y' = q_{0}(x) + q_{1}(x)\,y + q_{2}(x)\,y^{2},
isto é, uma equação de Riccati, que não é linear.

Passo 3

Para resolver, usamos a substituição clássica para casos em que aparecem termos \tfrac{y}{x}:
v = \frac{y}{x} \quad\Longrightarrow\quad y = x\,v.
Derivando em relação a x,
y' = v + x\,v'.

Passo 4

Substituindo y e y' na equação em forma padrão:
\bigl(v + x\,v'\bigr) + \frac{1}{x}\,(x\,v) = 1 + \bigl(v\bigr)^{2} \quad\Longrightarrow\quad v + x\,v' + v = 1 + v^{2}.
Ou seja,
x\,v' + 2\,v = 1 + v^{2} \quad\Longrightarrow\quad x\,v' = 1 + v^{2} - 2\,v = (v - 1)^{2}.

Passo 5

A equação para v ficou separável:
\frac{dv}{(v - 1)^{2}} = \frac{dx}{x}.
Integramos ambos os lados:
\int \frac{dv}{(v - 1)^{2}} = \int \frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad -\,\frac{1}{v - 1} = \ln\bigl|x\bigr| + C,
onde C é constante de integração.

Passo 6

Isolando v:
\frac{1}{v - 1} = -\ln\bigl|x\bigr| - C \quad\Longrightarrow\quad v - 1 = -\frac{1}{\ln|x| + C} \quad\Longrightarrow\quad v = 1 - \frac{1}{\ln|x| + C}.

Passo 7

Voltando à variável original y = x\,v, obtemos a solução geral:
y(x) = x\;\Bigl(1 - \frac{1}{\ln|x| + C}\Bigr) = x - \frac{x}{\ln|x| + C},
onde C é a constante arbitrária.

Resposta

A equação é não linear (é do tipo Riccati) e sua solução geral é
\boxed{y(x) = x - \frac{x}{\ln|x| + C},}
com C constante de integração.

Exercícios relacionados