Identifique quais equações diferenciais ordinárias de primeira ordem dadas são lineares ou não lineares. Determine as respectivas soluções gerais, onde \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} e \boldsymbol{w} são constantes. Tente usar todos os métodos de resolução estudados, conforme cada caso. \boldsymbol{y}^{\prime}+\boldsymbol{x} \boldsymbol{y} \ln \boldsymbol{y}=\mathbf{2} \boldsymbol{x} \boldsymbol{y}
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
y' + x\,y\,\ln y = 2\,x\,y
e pede para identificarmos se ela é linear ou não e, em seguida, determinar a solução geral. Para resolver, vamos ver se ela é linear em y ou se admite separação de variáveis (ou outra técnica).
Passo 2
Verificamos linearidade: uma EDO de primeira ordem linear tem a forma
y' + P(x)\,y = Q(x).
Aqui o termo extra é x\,y\,\ln y, que não é uma função apenas de x multiplicando y, pois depende de \ln y. Logo, a equação é não linear.
Por outro lado, podemos escrever