Identifique quais equações diferenciais ordinárias de primeira ordem dadas são lineares ou não lineares. Determine as respectivas soluções gerais, onde \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} e \boldsymbol{w} são constantes. Tente usar todos os métodos de resolução estudados, conforme cada caso.
\boldsymbol{y}^{\prime}+\boldsymbol{x} \boldsymbol{y} \ln \boldsymbol{y}=\mathbf{2} \boldsymbol{x} \boldsymbol{y}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
y' + x\,y\,\ln y = 2\,x\,y
e pede para identificarmos se ela é linear ou não e, em seguida, determinar a solução geral. Para resolver, vamos ver se ela é linear em y ou se admite separação de variáveis (ou outra técnica).

Passo 2

Verificamos linearidade: uma EDO de primeira ordem linear tem a forma
y' + P(x)\,y = Q(x).
Aqui o termo extra é x\,y\,\ln y, que não é uma função apenas de x multiplicando y, pois depende de \ln y. Logo, a equação é não linear.
Por outro lado, podemos escrever
y' = 2x\,y - x\,y\,\ln y = x\,y\,(2 - \ln y),
o que sugere separação de variáveis.

Passo 3

Vamos separar variáveis. Escrevendo y' = \frac{dy}{dx}, temos
\frac{dy}{dx} = x\,y\,(2 - \ln y).
Dividindo ambos os lados por y(2 - \ln y) e multiplicando por dx, obtemos
\frac{dy}{y\,(2 - \ln y)} = x\,dx.

Passo 4

Para integrar o lado esquerdo, usamos a substituição
t = \ln y \quad\Longrightarrow\quad dt = \frac{dy}{y}.
Então
\frac{dy}{y\,(2 - \ln y)} = \frac{dt}{2 - t}.
A integral fica
\int \frac{dt}{2 - t} = \int x\,dx.

Passo 5

Calculamos cada integral:
\int \frac{dt}{2 - t} = -\ln\bigl|2 - t\bigr| + C_1, \qquad \int x\,dx = \frac{x^2}{2} + C_2.
Igualando e reunindo constantes C=C_2-C_1,
-\ln\bigl|2 - t\bigr| = \frac{x^2}{2} + C \;\Longrightarrow\; \ln\bigl|2 - t\bigr| = -\frac{x^2}{2} - C.

Passo 6

Definindo C_3 = e^{-C}>0, temos
\bigl|2 - t\bigr| = C_3\,e^{-x^2/2}.
Como t=\ln y, podemos escrever a solução geral sem o valor absoluto e absorver o sinal em C:
\ln y = 2 - C\,e^{-x^2/2},
onde C é constante arbitrária real. Por fim, exponenciando,
y(x) = \exp\!\bigl(2 - C\,e^{-x^2/2}\bigr).

Resposta

A equação é não linear (devido a y\ln y). A solução geral é
y(x) = \exp\!\bigl(2 - C\,e^{-x^2/2}\bigr),
onde C é constante arbitrária.

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