Identifique quais equações diferenciais ordinárias de primeira ordem dadas são lineares ou não lineares. Determine as respectivas soluções gerais, onde \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} e \boldsymbol{w} são constantes. Tente usar todos os métodos de resolução estudados, conforme cada caso.
\left(3 x^{2} y+\frac{y}{x}\right) d x+\left(x^{3}+\ln x\right) d y=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial de primeira ordem
\bigl(3x^{2}y + \tfrac{y}{x}\bigr)\,dx + \bigl(x^{3} + \ln x\bigr)\,dy = 0.
Vamos identificar a classe da EDO (linear ou não) e encontrar sua solução geral.

Passo 2

Escrevemos
M(x,y)=3x^{2}y + \frac{y}{x}, \quad N(x,y)=x^{3} + \ln x.
Testamos se é exata comparando
\frac{\partial M}{\partial y} =3x^{2}+\frac{1}{x}, \quad \frac{\partial N}{\partial x} =3x^{2}+\frac{1}{x}.
Como \partial M/\partial y=\partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Por exatidão existe uma função potencial \psi(x,y) tal que
\frac{\partial \psi}{\partial x}=M \quad\text{e}\quad \frac{\partial \psi}{\partial y}=N.
Integramos M em relação a x:
\psi(x,y) =\int\Bigl(3x^{2}y+\frac{y}{x}\Bigr)\,dx =y\int\Bigl(3x^{2}+\frac{1}{x}\Bigr)\,dx =y\bigl(x^{3}+\ln x\bigr)+h(y).

Passo 4

Derivando \psi em relação a y e igualando a N:
\frac{\partial \psi}{\partial y} =x^{3}+\ln x + h'(y) \overset{!}{=}x^{3}+\ln x \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=0 \;\Longrightarrow\;h(y)=C.

Passo 5

A solução geral implícita é
\psi(x,y)=x^{3}y + y\ln x=C \quad\Longrightarrow\quad y\bigl(x^{3}+\ln x\bigr)=C.
Isolando y,
y=\frac{C}{x^{3}+\ln x}.

Passo 6

Para classificar como linear, reescrevemos em forma explícita
\frac{dy}{dx} =-\frac{3x^{2}y+\tfrac{y}{x}}{x^{3}+\ln x} =-\frac{3x^{2}+\tfrac{1}{x}}{x^{3}+\ln x}\,y \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx}+P(x)\,y=0,
com P(x)=(3x^{2}+1/x)/(x^{3}+\ln x). É, portanto, uma EDO linear homogênea de primeira ordem (e também exata).

Resposta

A equação é linear homogênea (e exata) e sua solução geral é
y\bigl(x^{3}+\ln x\bigr)=C,
ou equivalentemente
y=\frac{C}{x^{3}+\ln x}.

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