Identifique quais equações diferenciais ordinárias de primeira ordem dadas são lineares ou não lineares. Determine as respectivas soluções gerais, onde
e
são constantes. Tente usar todos os métodos de resolução estudados, conforme cada caso.
Passo 1
O enunciado dá a EDO de primeira ordem
e pede para identificar se ela é linear e, em seguida, achar a solução geral. Vamos precisar reconhecer o tipo de não linearidade e escolher uma substituição que torne a equação separável.
Passo 2
Colocamos a equação em forma padrão
a parte em
depende de
, logo não é da forma
. Portanto a EDO é não linear.
Passo 3
Observamos que a não linearidade está na combinação
. Definimos a nova variável
Então
Passo 4
Substituindo em
obtemos
Essa é uma EDO separável em
e
.
Passo 5
Escrevemos a separação de variáveis:
Note que
Passo 6
Integramos ambos os lados:
Passo 7
Reagrupando os logaritmos,
onde
é constante arbitrária.
Passo 8
Elevando ao quadrado e resolvendo para
:
Passo 9
Voltando à variável original
, temos a solução implícita
Ou de forma explícita, escolhendo o sinal de
:
Resposta
A equação é não linear. A solução geral, em forma implícita, é
com
constante arbitrária, equivalente a