Identifique quais equações diferenciais ordinárias de primeira ordem dadas são lineares ou não lineares. Determine as respectivas soluções gerais, onde \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} e \boldsymbol{w} são constantes. Tente usar todos os métodos de resolução estudados, conforme cada caso.
\boldsymbol{x} \boldsymbol{y}^{\prime}-\boldsymbol{y}-(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x})^{\mathbf{3}}=\mathbf{0}

Passo 1

O enunciado dá a EDO de primeira ordem
x\,y' - y - (y - x)^3 = 0
e pede para identificar se ela é linear e, em seguida, achar a solução geral. Vamos precisar reconhecer o tipo de não linearidade e escolher uma substituição que torne a equação separável.

Passo 2

Colocamos a equação em forma padrão
y' - \frac{1}{x}\,y = \frac{(y - x)^3}{x}
a parte em (y - x)^3 depende de y, logo não é da forma y' + p(x)\,y = q(x). Portanto a EDO é não linear.

Passo 3

Observamos que a não linearidade está na combinação y - x. Definimos a nova variável
u = y - x.
Então
y = x + u \quad\text{e}\quad y' = 1 + u'.

Passo 4

Substituindo em x\,y' - y - (y - x)^3=0 obtemos
x\,(1 + u') - (x + u) - u^3 = 0 \;\Longrightarrow\; x + x\,u' - x - u - u^3 = 0 \;\Longrightarrow\; x\,u' = u + u^3.
Essa é uma EDO separável em u e x.

Passo 5

Escrevemos a separação de variáveis:
\frac{du}{u + u^3} = \frac{dx}{x}.
Note que
\frac{1}{u + u^3} = \frac{1}{u(1+u^2)} = \frac{1}{u} - \frac{u}{1+u^2}.

Passo 6

Integramos ambos os lados:
\int\!\Bigl(\frac{1}{u} - \frac{u}{1+u^2}\Bigr)\,du = \int\!\frac{dx}{x} \;\Longrightarrow\; \ln\lvert u\rvert - \tfrac12\ln\bigl(1+u^2\bigr) = \ln\lvert x\rvert + C.

Passo 7

Reagrupando os logaritmos,
\ln\Bigl(\frac{\lvert u\rvert}{\sqrt{1+u^2}}\Bigr) = \ln\lvert x\rvert + C \;\Longrightarrow\; \frac{u}{\sqrt{1+u^2}} = K\,x,
onde K = \pm e^C é constante arbitrária.

Passo 8

Elevando ao quadrado e resolvendo para u^2:
\frac{u^2}{1+u^2} = K^2x^2 \;\Longrightarrow\; u^2 = \frac{K^2x^2}{1 - K^2x^2}.

Passo 9

Voltando à variável original y = x + u, temos a solução implícita
\frac{(y - x)^2}{1 + (y - x)^2} = K^2\,x^2.
Ou de forma explícita, escolhendo o sinal de u:
y = x \pm \frac{K\,x}{\sqrt{1 - K^2x^2}}.

Resposta

A equação é não linear. A solução geral, em forma implícita, é
\frac{(y - x)^2}{1 + (y - x)^2} = K^2\,x^2,
com K constante arbitrária, equivalente a
y = x \pm \frac{K\,x}{\sqrt{1 - K^2x^2}}.

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