Identifique quais equações diferenciais ordinárias de primeira ordem dadas são lineares ou não lineares. Determine as respectivas soluções gerais, onde
e
são constantes. Tente usar todos os métodos de resolução estudados, conforme cada caso.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
pede que a classifiquemos (linear ou não linear) e encontremos a solução geral. Veremos que ela não é linear, não é separável de início, mas pode ser resolvida usando o método de fator integrante para tornar a equação exata.
Passo 2
Para ver que não é linear, tente escrever no formato
Aqui temos
dentro de
e
, logo não dá para isolar
num termo linear em
. Portanto a equação é não linear.
Passo 3
Reescrevemos em forma diferencial exata
Definimos
Passo 4
Verificamos a não exatidão inicial:
e
, então não é exata.
Passo 5
Procuramos um fator integrante que dependa só de
. Calculamos
que é função de
constante. Logo um fator integrante é
Passo 6
Multiplicamos a equação por
:
ou
com
Agora
,
logo é exata. Existe tal que
logo é exata. Existe
Integramos
:
Derivando em
e igualando a
dá
, então
é constante.
Passo 7
A condição
fornece a solução implícita
Isolando
:
Passo 8
Finalmente, a solução geral é
onde
é constante de integração.