Identifique quais equações diferenciais ordinárias de primeira ordem dadas são lineares ou não lineares. Determine as respectivas soluções gerais, onde \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} e \boldsymbol{w} são constantes. Tente usar todos os métodos de resolução estudados, conforme cada caso.
\boldsymbol{y}^{\prime} \operatorname{senh}(\boldsymbol{y})=\operatorname{cosh} (\boldsymbol{y})+\boldsymbol{e}^{\boldsymbol{x}}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
y'\,\operatorname{sinh}(y)=\operatorname{cosh}(y)+e^{x},
pede que a classifiquemos (linear ou não linear) e encontremos a solução geral. Veremos que ela não é linear, não é separável de início, mas pode ser resolvida usando o método de fator integrante para tornar a equação exata.

Passo 2

Para ver que não é linear, tente escrever no formato
y'+p(x)\,y=q(x).
Aqui temos y dentro de \operatorname{sinh}(y) e \operatorname{cosh}(y), logo não dá para isolar y' num termo linear em y. Portanto a equação é não linear.

Passo 3

Reescrevemos em forma diferencial exata
y'\operatorname{sinh}(y)-\operatorname{cosh}(y)-e^{x}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad -\bigl[\operatorname{cosh}(y)+e^{x}\bigr]\,dx+\operatorname{sinh}(y)\,dy=0.
Definimos
M(x,y)=-\operatorname{cosh}(y)-e^{x}, \quad N(x,y)=\operatorname{sinh}(y).

Passo 4

Verificamos a não exatidão inicial:
\frac{\partial M}{\partial y}=-\operatorname{sinh}(y), \qquad \frac{\partial N}{\partial x}=0,
e -\operatorname{sinh}(y)\neq0, então não é exata.

Passo 5

Procuramos um fator integrante que dependa só de x. Calculamos
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N} =\frac{-\operatorname{sinh}(y)-0}{\operatorname{sinh}(y)}=-1,
que é função de x constante. Logo um fator integrante é
\mu(x)=e^{\int(-1)\,dx}=e^{-x}.

Passo 6

Multiplicamos a equação por \mu(x):
-\bigl[\operatorname{cosh}(y)+e^{x}\bigr]e^{-x}dx+\operatorname{sinh}(y)e^{-x}dy=0
ou
M_1(x,y)\,dx+N_1(x,y)\,dy=0,
com
M_1=-(\operatorname{cosh}(y)e^{-x}+1), \quad N_1=e^{-x}\operatorname{sinh}(y).
Agora \partial M_1/\partial y=-e^{-x}\operatorname{sinh}(y)=\partial N_1/\partial x,
logo é exata. Existe \Psi(x,y) tal que
\frac{\partial \Psi}{\partial x}=M_1, \quad \frac{\partial \Psi}{\partial y}=N_1.
Integramos \partial\Psi/\partial x=M_1:
\Psi(x,y)=\int\bigl[-\operatorname{cosh}(y)e^{-x}-1\bigr]\,dx =\operatorname{cosh}(y)e^{-x}-x +h(y).
Derivando em y e igualando a N_1 h'(y)=0, então h é constante.

Passo 7

A condição \Psi=\text{constante} fornece a solução implícita
\operatorname{cosh}(y)\,e^{-x}-x=C.
Isolando \operatorname{cosh}(y):
\operatorname{cosh}(y)=(C+x)e^{x}.

Passo 8

Finalmente, a solução geral é
y(x)=\pm\arccosh\bigl[(x+C)e^{x}\bigr],
onde C\in\mathbb{R} é constante de integração.

Resposta

\displaystyle\text{A EDO não é linear. A solução geral é}ãéçãé
\operatorname{cosh}(y)\,e^{-x}-x=C \quad\Longleftrightarrow\quad y(x)=\pm\arccosh\bigl[(x+C)e^{x}\bigr].

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