Identifique quais equações diferenciais ordinárias de primeira ordem dadas são lineares ou não lineares. Determine as respectivas soluções gerais, onde
e
são constantes. Tente usar todos os métodos de resolução estudados, conforme cada caso.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial ordinária de primeira ordem
onde
. Vamos primeiro classificar sua linearidade em
e depois encontrar a solução geral usando dois métodos: fator integrante (método de equação linear) e substituição que reduz a uma equação separável.
Passo 2
Reescrevendo em forma padrão:
Dividindo por
, obtemos
Como aparece
e
na 1ª potência, essa é uma EDO linear não homogênea em
.
Passo 3
Método do fator integrante. Identificamos
Calculamos o fator integrante
Multiplicamos a equação por
:
Passo 4
Calculamos o lado direito:
Integramos:
Logo
Passo 5
Método de substituição que gera equação separável. Defina
A equação original
vira
Integramos separando:
Voltando a
:
Resposta
A equação é linear de primeira ordem em
. A solução geral é
onde
é a constante arbitrária.