Identifique quais equações diferenciais ordinárias de primeira ordem dadas são lineares ou não lineares. Determine as respectivas soluções gerais, onde \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} e \boldsymbol{w} são constantes. Tente usar todos os métodos de resolução estudados, conforme cada caso.
\boldsymbol{y}^{\prime} \operatorname{sen} 2 \boldsymbol{x}=\boldsymbol{y} \cos 2 \boldsymbol{x}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
y'(x)\,\sin\bigl(2x\bigr)=y(x)\,\cos\bigl(2x\bigr),
em que a,b,w são constantes (não aparecem explicitamente aqui). Estamos no conteúdo de EDOs de primeira ordem, e vamos verificar se é linear e logo aplicar o método adequado (separação de variáveis ou forma linear padrão).

Passo 2

Para testar linearidade, dividimos ambos os lados por \sin(2x) (assumindo \sin(2x)\neq0 no intervalo considerado). Obtemos
y'(x)=y(x)\,\frac{\cos(2x)}{\sin(2x)}=y(x)\,\cot\bigl(2x\bigr).
Reescrevendo em forma padrão,
y'(x)-\cot\bigl(2x\bigr)\,y(x)=0,
que é uma EDO linear homogênea de coeficientes variáveis. Observamos também que essa mesma equação é separável.

Passo 3

Usando separação de variáveis, escrevemos
\frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx}=\cot\bigl(2x\bigr),
isto é
\frac{dy}{y}=\cot\bigl(2x\bigr)\,dx.
Agora integramos dos dois lados:

Passo 4

Calculemos as integrais
\int \frac{dy}{y} = \int \cot\bigl(2x\bigr)\,dx.
No lado esquerdo vem
\ln\bigl|y\bigr|.
No lado direito, sabendo que \displaystyle \int \cot(u)\,du=\ln|\sin(u)|, com u=2x tem-se
\int \cot\bigl(2x\bigr)\,dx =\frac12\ln\bigl|\sin(2x)\bigr| + C.
Logo
\ln\bigl|y\bigr| =\tfrac12\ln\bigl|\sin(2x)\bigr| + C \quad\Longrightarrow\quad \bigl|y\bigr|=e^C\;\bigl|\sin(2x)\bigr|^{1/2}.
Denotando K=\pm e^C (constante real arbitrária), chegamos a

Resposta

y(x)=K\,\sqrt{\bigl|\sin(2x)\bigr|},
válida em qualquer intervalo onde \sin(2x) não se anule e mantenha sinal.

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