Identifique quais equações diferenciais ordinárias de primeira ordem dadas são lineares ou não lineares. Determine as respectivas soluções gerais, onde \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} e \boldsymbol{w} são constantes. Tente usar todos os métodos de resolução estudados, conforme cada caso.
(\mathrm{x})(\boldsymbol{x}+\mathbf{1})\left(\boldsymbol{y}^{\prime}-\mathbf{1}\right)=\mathbf{2}(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x})

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial ordinária de primeira ordem
x(x+1)\,\bigl(y' - 1\bigr) \;=\; 2\bigl(y - x\bigr),
onde x\neq0, -1. Vamos primeiro classificar sua linearidade em y e depois encontrar a solução geral usando dois métodos: fator integrante (método de equação linear) e substituição que reduz a uma equação separável.

Passo 2

Reescrevendo em forma padrão:
x(x+1)\,y' - x(x+1) = 2y - 2x
x(x+1)\,y' - 2y = x(x+1) - 2x = x^2 - x
Dividindo por x(x+1), obtemos
y' - \frac{2}{x(x+1)}\,y \;=\; \frac{x^2 - x}{x(x+1)} \;=\;\frac{x-1}{x+1}.
Como aparece y e y' na 1ª potência, essa é uma EDO linear não homogênea em y.

Passo 3

Método do fator integrante. Identificamos
p(x) = -\frac{2}{x(x+1)}, \quad q(x)=\frac{x-1}{x+1}.
Calculamos o fator integrante
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int p(x)\,dx\Bigr) = \exp\!\Bigl(\int\bigl(-2/x + 2/(x+1)\bigr)\,dx\Bigr) = \exp\!\bigl(-2\ln|x| + 2\ln|x+1|\bigr) = \Bigl(\frac{x+1}{x}\Bigr)^{2}.
Multiplicamos a equação por \mu(x):
\frac{(x+1)^{2}}{x^{2}}\,y' \;-\;\frac{2(x+1)^{2}}{x^{3}}\,y =\frac{(x+1)^{2}}{x^{2}}\;\frac{x-1}{x+1} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}\!\Bigl[\mu(x)\,y\Bigr] = \mu(x)\,q(x).

Passo 4

Calculamos o lado direito:
\mu(x)\,q(x) =\Bigl(\frac{x+1}{x}\Bigr)^{2}\;\frac{x-1}{x+1} =\frac{x+1}{x^{2}}(x-1) =\frac{-\,x^{2}+1}{x^{2}} =-1+\frac{1}{x^{2}}.
Integramos:
\mu(x)\,y = \int\Bigl(-1+\frac{1}{x^{2}}\Bigr)dx + C = -x - \frac{1}{x} + C.
Logo
y(x) = \frac{x^{2}}{(x+1)^{2}}\Bigl(-x-\tfrac{1}{x}+C\Bigr) = x + C\,\frac{x^{2}}{(x+1)^{2}}.

Passo 5

Método de substituição que gera equação separável. Defina
z(x) = y(x) - x \;\Longrightarrow\; z' = y' - 1.
A equação original x(x+1)(y'-1)=2(y-x) vira
x(x+1)\,z' = 2\,z \;\Longrightarrow\; \frac{z'}{z} = \frac{2}{x(x+1)} = 2\Bigl(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\Bigr).
Integramos separando:
\ln|z| = 2\ln|x| - 2\ln|x+1| + \ln K \;\Longrightarrow\; z = K\,\frac{x^{2}}{(x+1)^{2}}.
Voltando a y:
y = x + K\,\frac{x^{2}}{(x+1)^{2}}.

Resposta

A equação é linear de primeira ordem em y. A solução geral é
\boxed{y(x) = x + C\,\frac{x^{2}}{(x+1)^{2}},}
onde C é a constante arbitrária.

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