Identifique e esboce a superficie quádrica.
4 z=x^{2}+2 y^{2}

Passo 1

O enunciado pede para identificar e esboçar a superfície quádru
ica dada por
4z = x^2 + 2y^2.
O conteúdo aqui é reconhecer superfícies quádricas, em particular paraboloides, usando forma canônica e cortes nos planos coordenados para entender a geometria.

Passo 2

Isolando z na equação, obtemos a forma canônica do gráfico:
z = \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{2}.
Isso já mostra que z é combinação positiva de x^2 e y^2, sugerindo um paraboloide que “abre” na direção positiva de z.

Passo 3

Analisando as seções horizontais z = c>0, substituímos na equação original:
x^2 + 2y^2 = 4c.
Em forma de elipse,
\frac{x^2}{4c} + \frac{y^2}{2c} = 1,
ou seja, em cada plano z=c temos uma elipse de semieixos
\;a_x = 2\sqrt{c} e \;a_y = \sqrt{2c}.

Passo 4

Nos cortes verticais:
  1. Plano y=0: z = \frac{x^2}{4},uma parábola no plano (x,z) voltada para cima.
  2. Plano x=0: z = \frac{y^2}{2},outra parábola no plano (y,z) voltada para cima.

Passo 5

Da forma canônica e dos cortes conclui-se que a superfície é um paraboloide elíptico que se abre no sentido positivo do eixo z.

Passo 6

Esboço: desenhe os eixos x, y, z; em vários planos horizontais z=c trace elipses concêntricas de semieixos \bigl(2\sqrt{c},\,\sqrt{2c}\bigr); nos planos y=0 e x=0 marque as parábolas z=x^2/4 e z=y^2/2. Isso dá a visão tridimensional do paraboloide elíptico.

Resposta

Paraboloide elíptico que se abre para cima, com equação em forma canônica
z = \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{2},
e seções horizontais elipses \tfrac{x^2}{4c}+\tfrac{y^2}{2c}=1.

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