Identifique e esboce a superficie quádrica.
Passo 1
O enunciado pede para identificar e esboçar a superfície quádru
ica dada por
O conteúdo aqui é reconhecer superfícies quádricas, em particular paraboloides, usando forma canônica e cortes nos planos coordenados para entender a geometria.
Passo 2
Isolando
na equação, obtemos a forma canônica do gráfico:
Isso já mostra que
é combinação positiva de
e
, sugerindo um paraboloide que “abre” na direção positiva de
.
Passo 3
Analisando as seções horizontais
, substituímos na equação original:
Em forma de elipse,
ou seja, em cada plano
temos uma elipse de semieixos
e
.
Passo 4
Nos cortes verticais:
- Plano
: uma parábola no plano voltada para cima. - Plano
: outra parábola no plano voltada para cima.
Passo 5
Da forma canônica e dos cortes conclui-se que a superfície é um paraboloide elíptico que se abre no sentido positivo do eixo
.
Passo 6
Esboço: desenhe os eixos
,
,
; em vários planos horizontais
trace elipses concêntricas de semieixos
; nos planos
e
marque as parábolas
e
. Isso dá a visão tridimensional do paraboloide elíptico.
Resposta
Paraboloide elíptico que se abre para cima, com equação em forma canônica
e seções horizontais elipses
.