Identifique os índices livres e os de soma nas equações abaixo e determine quantas equações distintas cada expresssão representa.
Passo 1
O enunciado dá a equação tensorial
e pede duas coisas: (a) identificar quais índices são livres e quais são índices de soma; (b) determinar quantas equações escalares distintas essa única expressão representa. Informações relevantes dadas pelo enunciado que vamos usar:
- Os índices escritos são
e . -
é o tensor de Ricci, a métrica, a curvatura escalar e o tensor energia–momento. - Não foi dada explicitamente a dimensão do espaço-tempo, mas o contexto (constante
e notação) indica o caso usual de relatividade geral em quatro dimensões; vou assumir que os índices variam em (ou equivalente: 4 valores). Se a dimensão fosse outra, a contagem muda e eu darei a fórmula geral também.
Passo 2
O que são índices livres e índices de soma (índices contraídos / dummy)?
- Índice livre é um índice que aparece exatamente uma vez em um termo da equação e que não é somado; ele indica que a equação vale para cada valor desse índice. Por exemplo, em
o índice é livre e indica um conjunto de equações (uma para cada valor de ). - Índice de soma (ou índice dummy) é um índice que aparece duas vezes em um mesmo termo (normalmente uma vez em cima e outra embaixo na convenção de Einstein) e implica somatório sobre todos os seus valores. Por exemplo,
tem e como índices de soma: há somas sobre e .
Passo 3
Aplicando isso à equação dada: os índices escritos explicitamente na equação são
e
. Eles aparecem uma vez à esquerda e uma vez à direita (sempre com as mesmas posições), nunca repetidos dentro de um mesmo termo. Logo
e
são índices livres: a igualdade é uma relação entre componentes para cada par
. Em palavras: a equação vale componente a componente para cada escolha de
e
.
Passo 4
Identificando índices de soma implícitos: a letra
(curvatura escalar) não carrega índices, mas ela é definida por contração do tensor de Ricci com a métrica inversa:
Aqui aparecem os índices
e
repetidos (uma vez cima, uma vez baixo), portanto
e
são índices de soma (dummies) — há soma sobre
e
de
a
no caso 4D. Observe que essas somas ocorrem dentro de
; mas isso não transforma
ou
em índices de soma:
e
continuam livres.
Passo 5
Resumo claro das identificações:
- Índices livres:
. - Índices de soma que aparecem implicitamente na expressão:
(na definição ). Não há soma direta sobre ou na equação escrita.
Passo 6
Agora contar quantas equações escalares distintas essa expressão representa. Regras gerais:
- Um tensor de segunda ordem com índices não simétricos em
dimensões tem componentes, portanto uma equação sem hipótese de simetria corresponde, em princípio, a equações escalares. - Se o tensor for simétrico (
), o número de componentes independentes cai para (porque a parte fora da diagonal é espelhada).
Passo 7
Aplicando ao nosso caso em
(caso usual):
- Sem considerar simetrias teríamos
equações componentes. - Porém, os tensores relevantes aqui são simétricos:
, e fisicamente (o tensor energia–momento é simétrico na relatividade geral). A combinação na equação de Einstein é portanto simétrica em e . Assim só existem componentes independentes, isto é, 10 equações escalares distintas.
Passo 8
Observação adicional (fórmula geral): em
dimensões a equação tensorial
representa, no máximo,
equações escalares; se os tensores forem simétricos (como é o caso), o número de equações independentes é
Para
isso dá
.
Resposta
Índices livres:
Índices de soma (implícitos): (em
)
Número de equações distintas (em dimensões):
Índices de soma (implícitos):
Número de equações distintas (em