Identifique os índices livres e os de soma nas equações abaixo e determine quantas equações distintas cada expresssão representa.
R_{\mu \nu}-\frac{1}{2} g_{\mu \nu} R=8 \pi G T_{\mu \nu}

Passo 1

O enunciado dá a equação tensorial
R_{\mu \nu}-\frac{1}{2} g_{\mu \nu} R=8 \pi G T_{\mu \nu}
e pede duas coisas: (a) identificar quais índices são livres e quais são índices de soma; (b) determinar quantas equações escalares distintas essa única expressão representa. Informações relevantes dadas pelo enunciado que vamos usar:
  • Os índices escritos são \mu e \nu.
  • R_{\mu\nu} é o tensor de Ricci, g_{\mu\nu} a métrica, R a curvatura escalar e T_{\mu\nu} o tensor energia–momento.
  • Não foi dada explicitamente a dimensão do espaço-tempo, mas o contexto (constante G e notação) indica o caso usual de relatividade geral em quatro dimensões; vou assumir que os índices variam em 0,1,2,3 (ou equivalente: 4 valores). Se a dimensão fosse outra, a contagem muda e eu darei a fórmula geral também.

Passo 2

O que são índices livres e índices de soma (índices contraídos / dummy)?
  • Índice livre é um índice que aparece exatamente uma vez em um termo da equação e que não é somado; ele indica que a equação vale para cada valor desse índice. Por exemplo, em A_{\mu}=B_{\mu} o índice \mu é livre e indica um conjunto de equações (uma para cada valor de \mu).
  • Índice de soma (ou índice dummy) é um índice que aparece duas vezes em um mesmo termo (normalmente uma vez em cima e outra embaixo na convenção de Einstein) e implica somatório sobre todos os seus valores. Por exemplo, C = g^{\alpha\beta}D_{\alpha\beta} tem \alpha e \beta como índices de soma: há somas sobre \alpha e \beta.

Passo 3

Aplicando isso à equação dada: os índices escritos explicitamente na equação são \mu e \nu. Eles aparecem uma vez à esquerda e uma vez à direita (sempre com as mesmas posições), nunca repetidos dentro de um mesmo termo. Logo \mu e \nu são índices livres: a igualdade é uma relação entre componentes para cada par (\mu,\nu). Em palavras: a equação vale componente a componente para cada escolha de \mu e \nu.

Passo 4

Identificando índices de soma implícitos: a letra R (curvatura escalar) não carrega índices, mas ela é definida por contração do tensor de Ricci com a métrica inversa:
R = g^{\alpha\beta}R_{\alpha\beta}.
Aqui aparecem os índices \alpha e \beta repetidos (uma vez cima, uma vez baixo), portanto \alpha e \beta são índices de soma (dummies) — há soma sobre \alpha e \beta de 0 a 3 no caso 4D. Observe que essas somas ocorrem dentro de R; mas isso não transforma \mu ou \nu em índices de soma: \mu e \nu continuam livres.

Passo 5

Resumo claro das identificações:
  • Índices livres: \mu, \nu.
  • Índices de soma que aparecem implicitamente na expressão: \alpha, \beta (na definição \;R = g^{\alpha\beta}R_{\alpha\beta}). Não há soma direta sobre \mu ou \nu na equação escrita.

Passo 6

Agora contar quantas equações escalares distintas essa expressão representa. Regras gerais:
  • Um tensor de segunda ordem com índices não simétricos em n dimensões tem n^2 componentes, portanto uma equação A_{\mu\nu}=B_{\mu\nu} sem hipótese de simetria corresponde, em princípio, a n^2 equações escalares.
  • Se o tensor for simétrico ( A_{\mu\nu}=A_{\nu\mu}), o número de componentes independentes cai para \dfrac{n(n+1)}{2} (porque a parte fora da diagonal é espelhada).

Passo 7

Aplicando ao nosso caso em n=4 (caso usual):
  • Sem considerar simetrias teríamos 4\times4=16 equações componentes.
  • Porém, os tensores relevantes aqui são simétricos: R_{\mu\nu}=R_{\nu\mu}, g_{\mu\nu}=g_{\nu\mu} e fisicamente T_{\mu\nu}=T_{\nu\mu} (o tensor energia–momento é simétrico na relatividade geral). A combinação na equação de Einstein é portanto simétrica em \mu e \nu. Assim só existem \dfrac{4(4+1)}{2}=10 componentes independentes, isto é, 10 equações escalares distintas.

Passo 8

Observação adicional (fórmula geral): em n dimensões a equação tensorial
R_{\mu\nu}-\tfrac{1}{2}g_{\mu\nu}R=8\pi G\,T_{\mu\nu}
representa, no máximo, n^2 equações escalares; se os tensores forem simétricos (como é o caso), o número de equações independentes é
\frac{n(n+1)}{2}.
Para n=4 isso dá 10.

Resposta

Índices livres: \mu,\nu
Índices de soma (implícitos): \alpha,\beta (em \;R=g^{\alpha\beta}R_{\alpha\beta})
Número de equações distintas (em 4 dimensões): 10

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