Identifique os índices livres e os de soma nas equações abaixo e determine quantas equações distintas cada expresssão representa.
Passo 1
O enunciado dá a igualdade
e pede duas coisas: (i) identificar quais índices são livres e quais são índices de soma; (ii) determinar quantas equações distintas essa expressão representa. Os símbolos relevantes na expressão são os índices
e
.
Passo 2
Explicando a convenção usada (passo-a-passo, como se eu estivesse ao seu lado na prova): quando um índice aparece duas vezes numa mesma termo — uma vez em posição superior e uma vez em posição inferior — a convenção de Einstein manda somar automaticamente sobre todos os valores possíveis desse índice. Ou seja, um índice repetido é um índice de soma (um índice “dummy”).
Aplicando isso à expressão, para cada valor fixo de
a igualdade significa, explicitamente,
onde
é o número de valores que os índices assumem (por exemplo,
em espaço-tempo 4‑dimensional). Note que a soma está sobre
.
Passo 3
Identificação direta:
- Índice de soma:
. Motivo: aparece repetido uma vez em cima ( ) e uma vez em baixo ( ), portanto está sendo somado pela convenção de Einstein. - Índice livre:
. Motivo: aparece apenas uma vez em cada membro da equação (não repetido), portanto não é somado — ele rotula qual componente da igualdade estamos escrevendo.
Passo 4
Quantas equações distintas a expressão representa? Cada valor possível do índice livre
dá uma equação diferente. Se os índices têm
valores possíveis, então há
equações distintas. Em particular, no caso usual de espaço-tempo com quatro componentes (
) a expressão representa quatro equações distintas.
Para deixar bem concreto, escrevendo as equações quando
:
Passo 5
Observações finais rápidas e úteis para a prova (pra te deixar mais confiante): o índice que soma (
) é “dummy” — pode ser trocado por outro símbolo sem mudar nada, por exemplo
. O índice livre (
) é o que determina quantas equações aparecem; sempre conte os valores possíveis do índice livre para saber quantas linhas/componentes você tem.
Resposta
Índice(s) de soma:
Índice(s) livre(s):
Número de equações distintas: (onde
é o número de valores do índice; no caso usual de 4 dimensões,
).
Índice(s) livre(s):
Número de equações distintas: