Identifique os índices livres e os de soma nas equações abaixo e determine quantas equações distintas cada expresssão representa.
A^{\bar{\mu}}=\Lambda_{\nu}^{\bar{\mu}} A^{\nu}

Passo 1

O enunciado dá a igualdade
A^{\bar{\mu}}=\Lambda_{\nu}^{\bar{\mu}} A^{\nu}
e pede duas coisas: (i) identificar quais índices são livres e quais são índices de soma; (ii) determinar quantas equações distintas essa expressão representa. Os símbolos relevantes na expressão são os índices \bar{\mu} e \nu.

Passo 2

Explicando a convenção usada (passo-a-passo, como se eu estivesse ao seu lado na prova): quando um índice aparece duas vezes numa mesma termo — uma vez em posição superior e uma vez em posição inferior — a convenção de Einstein manda somar automaticamente sobre todos os valores possíveis desse índice. Ou seja, um índice repetido é um índice de soma (um índice “dummy”).
Aplicando isso à expressão, para cada valor fixo de \bar{\mu} a igualdade significa, explicitamente,
A^{\bar{\mu}}=\sum_{\nu=0}^{n-1}\Lambda_{\nu}^{\bar{\mu}}A^{\nu},
onde n é o número de valores que os índices assumem (por exemplo, n=4 em espaço-tempo 4‑dimensional). Note que a soma está sobre \nu.

Passo 3

Identificação direta:
  • Índice de soma: \nu. Motivo: aparece repetido uma vez em cima ( A^{\nu}) e uma vez em baixo ( \Lambda_{\nu}^{\bar{\mu}}), portanto está sendo somado pela convenção de Einstein.
  • Índice livre: \bar{\mu}. Motivo: aparece apenas uma vez em cada membro da equação (não repetido), portanto não é somado — ele rotula qual componente da igualdade estamos escrevendo.

Passo 4

Quantas equações distintas a expressão representa? Cada valor possível do índice livre \bar{\mu} dá uma equação diferente. Se os índices têm n valores possíveis, então há n equações distintas. Em particular, no caso usual de espaço-tempo com quatro componentes ( n=4) a expressão representa quatro equações distintas.
Para deixar bem concreto, escrevendo as equações quando n=4:
\begin{aligned} A^{\bar{0}}&=\Lambda_{0}^{\bar{0}}A^{0}+\Lambda_{1}^{\bar{0}}A^{1}+\Lambda_{2}^{\bar{0}}A^{2}+\Lambda_{3}^{\bar{0}}A^{3},\\\ A^{\bar{1}}&=\Lambda_{0}^{\bar{1}}A^{0}+\Lambda_{1}^{\bar{1}}A^{1}+\Lambda_{2}^{\bar{1}}A^{2}+\Lambda_{3}^{\bar{1}}A^{3},\\\ A^{\bar{2}}&=\Lambda_{0}^{\bar{2}}A^{0}+\Lambda_{1}^{\bar{2}}A^{1}+\Lambda_{2}^{\bar{2}}A^{2}+\Lambda_{3}^{\bar{2}}A^{3},\\\ A^{\bar{3}}&=\Lambda_{0}^{\bar{3}}A^{0}+\Lambda_{1}^{\bar{3}}A^{1}+\Lambda_{2}^{\bar{3}}A^{2}+\Lambda_{3}^{\bar{3}}A^{3}. \end{aligned}

Passo 5

Observações finais rápidas e úteis para a prova (pra te deixar mais confiante): o índice que soma ( \nu) é “dummy” — pode ser trocado por outro símbolo sem mudar nada, por exemplo \nu\to\rho. O índice livre ( \bar{\mu}) é o que determina quantas equações aparecem; sempre conte os valores possíveis do índice livre para saber quantas linhas/componentes você tem.

Resposta

Índice(s) de soma: \nu
Índice(s) livre(s): \bar{\mu}
Número de equações distintas: n (onde n é o número de valores do índice; no caso usual de 4 dimensões, 4).

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