Identifique a quádrica e faça um esboço de seu gráfico:
d) 8 x^2-34 y^2+z^2=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para identificar a quádrupla da equação e fazer um esboço do gráfico dela. Vamos precisar usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre quadricas, que são superfícies definidas por equações do segundo grau em três variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação dada: . Nessa equação, temos termos quadráticos em , e . Os coeficientes desses termos vão nos ajudar a identificar que tipo de quadriculada estamos lidando.

Passo 3

Observando os sinais dos coeficientes:
  • é positivo,
  • é negativo,
  • é positivo.
Quando uma equação quadrática em três dimensões tem termos quadráticos com sinais diferentes, isso geralmente indica que estamos lidando com um hiperboloide. Mais especificamente, como temos dois termos positivos e um negativo, isso sugere que é um hiperboloide de uma folha.

Passo 4

Vamos lembrar o que é um hiperboloide de uma folha. Ele se parece com uma sela ou um prato invertido e possui duas interseções em cada um dos planos principais. Para esboçar o gráfico, podemos considerar cortes nos planos , e :
  • Plano : Fixando , a equação fica , que representa uma hipérbole.
  • Plano : Fixando , a equação fica , que é uma elipse.
  • Plano : Fixando , a equação fica , que também representa uma hipérbole.

Passo 5

Com base nesses cortes, podemos visualizar o hiperboloide de uma folha como uma superfície simétrica em relação aos eixos , e , que se abre ao longo do eixo com o termo negativo na equação, no caso, o eixo .

Resposta

A quadriculada é um hiperboloide de uma folha. O esboço do gráfico apresenta uma superfície semelhante a uma sela, com simetria em relação aos eixos , e , abrindo-se ao longo do eixo .

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