Identifique a quádrica e faça um esboço de seu gráfico:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para identificar a quádrupla da equação
e fazer um esboço do gráfico dela. Vamos precisar usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre quadricas, que são superfícies definidas por equações do segundo grau em três variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação dada:
. Nessa equação, temos termos quadráticos em
,
e
. Os coeficientes desses termos vão nos ajudar a identificar que tipo de quadriculada estamos lidando.
Passo 3
Observando os sinais dos coeficientes:
-
é positivo, -
é negativo, -
é positivo.
Quando uma equação quadrática em três dimensões tem termos quadráticos com sinais diferentes, isso geralmente indica que estamos lidando com um hiperboloide. Mais especificamente, como temos dois termos positivos e um negativo, isso sugere que é um hiperboloide de uma folha.
Passo 4
Vamos lembrar o que é um hiperboloide de uma folha. Ele se parece com uma sela ou um prato invertido e possui duas interseções em cada um dos planos principais. Para esboçar o gráfico, podemos considerar cortes nos planos
,
e
:
- Plano
: Fixando , a equação fica , que representa uma hipérbole. - Plano
: Fixando , a equação fica , que é uma elipse. - Plano
: Fixando , a equação fica , que também representa uma hipérbole.
Passo 5
Com base nesses cortes, podemos visualizar o hiperboloide de uma folha como uma superfície simétrica em relação aos eixos
,
e
, que se abre ao longo do eixo com o termo negativo na equação, no caso, o eixo
.
Resposta
A quadriculada
é um hiperboloide de uma folha. O esboço do gráfico apresenta uma superfície semelhante a uma sela, com simetria em relação aos eixos
,
e
, abrindo-se ao longo do eixo
.