Identifique a quádrica e faça um esboço de seu gráfico:
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Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem a equação quadrática
. Nosso objetivo aqui é identificar que tipo de superfície essa equação representa e fazer um esboço do seu gráfico.
Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre superfícies quadráticas, que são figuras geométricas definidas por equações de segundo grau em três variáveis (x, y, z). Essas superfícies podem ser vários tipos, como esferas, elipsóides, hiperboloides, parabolóides, entre outros.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a identificação. Temos:
Vamos tentar isolar o termo que envolve y:
Agora, dividimos todos os termos por 4 para isolar y:
Ou simplificando:
Passo 3
Observando a forma da equação
, percebemos que ela representa uma superfície onde y está expresso em função de
e
. Isso nos indica que estamos lidando com um parabolóide elíptico.
Um parabolóide elíptico é uma superfície que se abre em uma direção (neste caso, na direção positiva de y) e tem seções transversais elípticas. Isso significa que, para valores fixos de y, as seções transversais são elipses.
Passo 4
Para fazer o esboço do gráfico, vamos considerar alguns cortes da superfície:
- Corte pelo plano y = constante: Como vimos, para cada y, a seção é uma elipse definida por
. - Corte pelo plano x = 0: Substituindo x = 0 na equação original, temos
, ou seja, , que é uma parábola no plano yz. - Corte pelo plano z = 0: Substituindo z = 0, temos
, ou seja, , que é uma parábola no plano xy.
Resposta
A equação
representa um parabolóide elíptico que se abre na direção positiva de y. O esboço do gráfico mostra uma superfície curva onde, para cada valor de y, as seções são elipses, e os cortes nos planos xy e yz são parábolas.