Identifique, na reta real, os intervalos definidos pelas desigualdades.
b)
b)
Passo 1
O enunciado dá a desigualdade
e pede para identificar, na reta real, os intervalos de
que satisfazem essa desigualdade.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A expressão é
(valor absoluto de ). - O lado direito é
, um número não-negativo. - A desigualdade é do tipo “maior ou igual” (
), logo pontos com igualdade podem estar incluídos.
Passo 2
Definição do valor absoluto (fórmula e ideia): para qualquer número real
Interpretação geométrica:
até a origem
na reta. A desigualdade
com
significa que a distância de
até
é pelo menos
:
está a uma distância
ou maior da origem.]
Passo 3
Propriedade útil (casos): para qualquer
,
Motivo (uso da definição): dividir em duas situações:
- Se
, então . A desigualdade vira . - Se
, então . A desigualdade vira , isto é .
Juntando as duas possibilidades obtém-se a equivalência acima.
Passo 4
Aplicando ao caso concreto com
:
Pelo passo anterior,
Pelo passo anterior,
Observação sobre inclusão dos extremos: como a desigualdade original tem
, os pontos
e
satisfazem a desigualdade e devem ser incluídos nos intervalos (fechamento dos extremos).
Passo 5
Verificação rápida com exemplos para fixar a ideia:
-
: , logo não satisfaz (fica fora dos intervalos). -
: , satisfaz (ponto incluído). -
: , satisfaz (está no intervalo à esquerda).