Identifique, na reta real, os intervalos definidos pelas desigualdades.
b) |x| \geq \frac{1}{3}

Passo 1

O enunciado dá a desigualdade |x| \geq \dfrac{1}{3} e pede para identificar, na reta real, os intervalos de x que satisfazem essa desigualdade.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão é |x| (valor absoluto de x).
  • O lado direito é \dfrac{1}{3}, um número não-negativo.
  • A desigualdade é do tipo “maior ou igual” ( \geq), logo pontos com igualdade podem estar incluídos.

Passo 2

Definição do valor absoluto (fórmula e ideia): para qualquer número real x\), \[|x| = \begin{cases} x, & \text{se } x \geq 0,\\[4pt] -\,x, & \text{se } x < 0. \end{cases}
Interpretação geométrica: |x|\] mede a distância do ponto \(x até a origem 0 na reta. A desigualdade |x|\geq a com a\geq0 significa que a distância de x até 0 é pelo menos a: x está a uma distância a ou maior da origem.]

Passo 3

Propriedade útil (casos): para qualquer a\geq0,
|x|\geq a\quad\Longleftrightarrow\quad x\leq -a\\ \text{ ou }\\ x\geq a.
Motivo (uso da definição): dividir em duas situações:
  • Se x\geq0, então |x|=x. A desigualdade |x|\geq a vira x\geq a.
  • Se x<0, então |x|=-x. A desigualdade |x|\geq a vira -x\geq a, isto é x\leq -a.
    Juntando as duas possibilidades obtém-se a equivalência acima.

Passo 4

Aplicando ao caso concreto com a=\dfrac{1}{3}:
Pelo passo anterior,
|x|\geq \dfrac{1}{3}\quad\Longleftrightarrow\quad x\leq -\dfrac{1}{3}\\ \text{ ou }\\ x\geq \dfrac{1}{3}.
Observação sobre inclusão dos extremos: como a desigualdade original tem \geq, os pontos x=-\dfrac{1}{3} e x=\dfrac{1}{3} satisfazem a desigualdade e devem ser incluídos nos intervalos (fechamento dos extremos).

Passo 5

Verificação rápida com exemplos para fixar a ideia:
  • x=0: |0|=0<\dfrac{1}{3}, logo não satisfaz (fica fora dos intervalos).
  • x=\dfrac{1}{3}: \big|\dfrac{1}{3}\big|=\dfrac{1}{3}, satisfaz (ponto incluído).
  • x=-\dfrac{1}{2}: |-\tfrac{1}{2}|=\tfrac{1}{2}\geq\tfrac{1}{3}, satisfaz (está no intervalo à esquerda).

Resposta

(-\infty,-\tfrac{1}{3}] \cup [\tfrac{1}{3},\infty)

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