Identifique, na reta real, os intervalos definidos pelas desigualdades.
c) |x+2|>4

Passo 1

O enunciado pede que eu identifique, na reta real, os intervalos de x que satisfazem a desigualdade
|x+2|>4.
Informações relevantes dadas:
  • A incógnita é x, variável real.
  • A desigualdade envolve o valor absoluto |x+2|.
  • O membro direito é o número positivo 4.
    Não há outras condições adicionais.

Passo 2

Vamos recordar o que significa valor absoluto e como lidar com desigualdades do tipo [|u|>a).
Definição do valor absoluto: para qualquer número real u,
|u|=\begin{cases} u, & \text{se } u\ge0,\\[4pt] -u, & \text{se } u<0. \end{cases}
Assim, |u|\] mede a distância de \(u até 0 na reta real (sempre não-negativa).
Regra prática para desigualdades: se a>0, a desigualdade
|u|>a
é equivalente à disjunção (ou)
u<-a \quad\text{ou}\quad u>a.
Explicação curta do porquê: pedir que a distância de u até 0 seja maior que a significa que u está à esquerda de -a ou à direita de a.]

Passo 3

Aplicando a regra ao nosso caso, faça u=x+2 e a=4. Então
|x+2|>4
é equivalente a
x+2<-4 \quad\text{ou}\quad x+2>4.

Passo 4

Agora resolvo cada desigualdade separadamente.
Para x+2<-4:
x+2<-4 \quad\Longrightarrow\quad x<-4-2 \quad\Longrightarrow\quad x<-6.
Para x+2>4:
x+2>4 \quad\Longrightarrow\quad x>4-2 \quad\Longrightarrow\quad x>2.

Passo 5

Juntando as duas soluções por união (porque era “ou”), a solução da desigualdade original é o conjunto de x tais que
x<-6 \quad\text{ou}\quad x>2.
Em notação de intervalo isso fica
(-\infty,-6)\cup(2,\infty).

Passo 6

Verificação rápida com exemplos para ganhar confiança:
  • Pegue x=-7. Então |x+2|=|-7+2|=| -5|=5 e 5>4 é verdadeiro, logo x=-7 pertence à solução.
  • Pegue x=0. Então |0+2|=2 e 2>4 é falso, logo 0 não pertence.
  • Pegue x=3. Então |3+2|=5>4 verdadeiro, 3 pertence.
  • Nos pontos de fronteira x=-6 e x=2 tem |x+2|=4, mas a desigualdade é estrita >, portanto esses pontos não pertencem à solução.

Passo 7

(Só para referência — método alternativo) Outra maneira é elevar ambos os lados ao quadrado, já que |x+2|\ge0 e 4\ge0. Então
|x+2|>4 \Longleftrightarrow (x+2)^2>16.
Expandindo e resolvendo a inequação quadrática dá as mesmas raízes limites x=-6 e x=2, e novamente a solução é x<-6 ou x>2.

Resposta

(-\infty,-6)\cup(2,\infty)

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