Identifique, na reta real, os intervalos definidos pelas desigualdades.
c)
c)
Passo 1
O enunciado pede que eu identifique, na reta real, os intervalos de
que satisfazem a desigualdade
Informações relevantes dadas:
- A incógnita é
, variável real. - A desigualdade envolve o valor absoluto
. - O membro direito é o número positivo
.
Não há outras condições adicionais.
Passo 2
Vamos recordar o que significa valor absoluto e como lidar com desigualdades do tipo [|u|>a).
Definição do valor absoluto: para qualquer número real
,
Assim,
até
na reta real (sempre não-negativa).
Regra prática para desigualdades: se
, a desigualdade
é equivalente à disjunção (ou)
Explicação curta do porquê: pedir que a distância de
até
seja maior que
significa que
está à esquerda de
ou à direita de
.]
Passo 3
Aplicando a regra ao nosso caso, faça
e
. Então
é equivalente a
Passo 4
Agora resolvo cada desigualdade separadamente.
Para
:
Para
:
Passo 5
Juntando as duas soluções por união (porque era “ou”), a solução da desigualdade original é o conjunto de
tais que
Em notação de intervalo isso fica
Passo 6
Verificação rápida com exemplos para ganhar confiança:
- Pegue
. Então e é verdadeiro, logo pertence à solução. - Pegue
. Então e é falso, logo não pertence. - Pegue
. Então verdadeiro, pertence. - Nos pontos de fronteira
e tem , mas a desigualdade é estrita , portanto esses pontos não pertencem à solução.
Passo 7
(Só para referência — método alternativo) Outra maneira é elevar ambos os lados ao quadrado, já que
e
. Então
Expandindo e resolvendo a inequação quadrática dá as mesmas raízes limites
e
, e novamente a solução é
ou
.