Identifique, na reta real, os intervalos definidos pelas desigualdades.
d) |x+3|<2

Passo 1

O enunciado pede para identificar, na reta real, o(s) intervalo(s) definidos pela desigualdade |x+3|<2.
Informações dadas:
  • A variável é x\in\mathbb{R}.
  • A desigualdade é |x+3|<2.
    O que é pedido:
  • Determinar o(s) intervalo(s) de números reais que satisfazem essa desigualdade.

Passo 2

Entendendo o valor absoluto de forma simples: para qualquer número real y, |y| é a distância de y até 0. Uma propriedade muito útil é: para b>0,
|y|<b \quad\Longleftrightarrow\quad -b<y<b.
Isso significa que exigir que a distância de y a zero seja menor que b é o mesmo que exigir que y esteja entre -b e b.

Passo 3

Aplicando essa propriedade com y=x+3 e b=2, obtemos a equivalência
|x+3|<2 \quad\Longleftrightarrow\quad -2<x+3<2.

Passo 4

Agora resolvemos a desigualdade composta. Subtraímos 3 de todas as partes:
-2-3 < x+3-3 < 2-3
ou seja
-5 < x < -1.

Passo 5

Interpretando o resultado: a solução é o intervalo aberto que vai de -5 a -1. Em notação de intervalo e em notação conjunto:
(-5,-1)\quad\text{ou}\quad \{x\in\mathbb{R}\mid -5<x<-1\}.
Os extremos -5 e -1 não estão incluídos porque a desigualdade é estrita ( <, não \le).

Passo 6

Checagens rápidas para ganhar confiança:
  • Para x=-3: |-3+3|=0<2 (verdadeiro, e -3 está em (-5,-1)).
  • Para x=-5: |-5+3|=2 (não satisfaz <2, logo -5 fica fora).
  • Para x=-1: |-1+3|=2 (também fora).
  • Para x=-4: |-4+3|=1<2 (dentro do intervalo).

Passo 7

Interpretação geométrica rápida (ajuda a lembrar): |x+3| é a distância entre x e -3. Pedir |x+3|<2 é pedir todos os pontos cuja distância a -3 seja menor que 2, isto é, os pontos entre -3-2=-5 e -3+2=-1.

Resposta

(-5,-1)

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