Identifique, na reta real, os intervalos definidos pelas desigualdades.
e) |x-1| \geq 3

Passo 1

O enunciado pede: identificar, na reta real, os intervalos de x que satisfazem a desigualdade
|x-1|\geq 3.
Informações dadas:
  • A incógnita é x\in\mathbb{R}.
  • A desigualdade envolve o valor absoluto de x-1.
  • Deve-se dar os intervalos da reta real que tornam a desigualdade verdadeira.

Passo 2

Vamos lembrar o que é valor absoluto e uma propriedade útil para desigualdades.
Definição do valor absoluto: para qualquer número real y\), \[|y|= \begin{cases} y, & \text{se } y\ge 0,\\[4pt] -y, & \text{se } y<0. \end{cases}
Interpretação geométrica: |y|\] é a distância de \(y até 0 na reta real. Logo |x-1| é a distância de x até 1.
Propriedade para desigualdades do tipo |A|\ge b com b\ge 0:
|A|\ge b \quad\Longleftrightarrow\quad A\ge b \\ \text{ ou }\\ A\le -b.
Explicação rápida: se a distância de A até 0 é pelo menos b, então A está à direita de b ( A\ge b) ou à esquerda de -b ( A\le -b).]

Passo 3

Aplique essa propriedade com A=x-1 e b=3. Como 3\ge 0, temos equivalência:
|x-1|\ge 3 \quad\Longleftrightarrow\quad x-1\ge 3 \quad\text{ou}\quad x-1\le -3.

Passo 4

Resolva cada desigualdade simples:
  1. Se x-1\ge 3, então somando 1 nos dois lados:
x \ge 3+1 \quad\Rightarrow\quad x \ge 4.
  1. Se x-1\le -3, então somando 1 nos dois lados:
x \le -3+1 \quad\Rightarrow\quad x \le -2.
Note que em ambas as soluções os sinais de igualdade permanecem porque começaram com \ge e \le.

Passo 5

Junte as duas soluções: a desigualdade é verdadeira quando x está em qualquer uma das duas partes:
x \in (-\infty,-2]\\ \cup\\ [4,\infty).
Interpretação: são todos os pontos da reta real cuja distância a 1 é pelo menos 3 — ou seja, \le -2 (à esquerda) ou \ge 4 (à direita).

Passo 6

Verificação rápida com pontos-teste:
  • x=5: |5-1|=4\ge 3 (ok, está em [4,\infty)).
  • x=-3: |-3-1|=4\ge 3 (ok, está em (-\infty,-2]).
  • x=1: |1-1|=0\not\ge 3 (não satisfaz, está fora dos intervalos).

Resposta

(-\infty,-2]\cup[4,\infty)

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