If the mass of the flowerpot is 50 kg , determine the tension developed in each wire for equilibrium. Set
and
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um vaso de flores com massa de 50 kg que está suspenso por duas cordas. Nosso objetivo aqui é encontrar a tensão em cada uma dessas cordas quando o sistema está em equilíbrio. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre estática e equilíbrio de forças, além de usar trigonometria para relacionar os comprimentos das cordas que são $ x = 1.5 , m $ e $ z = 2 , m $.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar como está o sistema. Temos um vaso de flores pendurado por duas cordas que se encontram em um ponto fixo acima do vaso. As cordas formam um triângulo com os comprimentos dados: uma corda com comprimento $ x = 1.5 , m $ e a outra com comprimento $ z = 2 , m $.
Passo 3
Como o sistema está em equilíbrio, a soma das forças atuando sobre o vaso deve ser zero. Isso significa que as forças para cima devem equilibrar a força para baixo (que é o peso do vaso), e as forças horizontais também devem se equilibrar. Vamos identificar essas forças:
- Peso ($ P $): A força que a gravidade exerce sobre o vaso, $ P = m \times g $, onde $ m = 50 , kg $ e $ g = 9,8 , m/s^2 $.
- Tensões nas cordas ($ T_x $ e $ T_z $): As forças que as cordas exercem sobre o vaso.
Passo 4
Vamos calcular o peso do vaso:
Agora, vamos considerar os triângulos formados pelas cordas. Para cada corda, podemos decompor a tensão em componentes horizontal ($ T \cos(\theta)
T \sin(\theta) $).
Como o sistema está em equilíbrio:
Isso nos dá:
Para encontrar os ângulos $ \theta_x $ e $ \theta_z $, usamos a trigonometria:
Onde $ h $ é a altura do ponto de fixação até o vaso. Como não temos $ h $, podemos considerar que os triângulos são semelhantes ou que as proporções nos ajudam a resolver as tensões.
Passo 5
Para simplificar, vamos supor que as cordas fazem os mesmos ângulos com a vertical, ou seja, que elas estão inclinadas de forma que formam um triângulo com os lados proporcionais a $ x $ e $ z $. Assim, podemos usar a relação:
Substituindo na equação do equilíbrio vertical:
Resposta
A tensão na corda de 1,5 m é de 210 N e na corda de 2 m é de 280 N.