If the mass of the flowerpot is 50 kg , determine the tension developed in each wire for equilibrium. Set x=1.5 m and z=2 m.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um vaso de flores com massa de 50 kg que está suspenso por duas cordas. Nosso objetivo aqui é encontrar a tensão em cada uma dessas cordas quando o sistema está em equilíbrio. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre estática e equilíbrio de forças, além de usar trigonometria para relacionar os comprimentos das cordas que são $ x = 1.5 , m $ e $ z = 2 , m $.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar como está o sistema. Temos um vaso de flores pendurado por duas cordas que se encontram em um ponto fixo acima do vaso. As cordas formam um triângulo com os comprimentos dados: uma corda com comprimento $ x = 1.5 , m $ e a outra com comprimento $ z = 2 , m $.

Passo 3

Como o sistema está em equilíbrio, a soma das forças atuando sobre o vaso deve ser zero. Isso significa que as forças para cima devem equilibrar a força para baixo (que é o peso do vaso), e as forças horizontais também devem se equilibrar. Vamos identificar essas forças:
  • Peso ($ P $): A força que a gravidade exerce sobre o vaso, $ P = m \times g $, onde $ m = 50 , kg $ e $ g = 9,8 , m/s^2 $.
  • Tensões nas cordas ($ T_x $ e $ T_z $): As forças que as cordas exercem sobre o vaso.

Passo 4

Vamos calcular o peso do vaso:
P = 50 , kg times 9,8 , m/s^2 = 490 , N
Agora, vamos considerar os triângulos formados pelas cordas. Para cada corda, podemos decompor a tensão em componentes horizontal ($ T \cos(\theta) T cos(theta) T \sin(\theta) $).
Como o sistema está em equilíbrio:
T sin(theta)
Isso nos dá:
sum Fx = 0 e sum Fy = 0 í
Tx cos(thetax) = Tz cos(thetaz) (equilíbrio horizontal) í
Para encontrar os ângulos $ \theta_x $ e $ \theta_z $, usamos a trigonometria:
Tx sin(thetax) + Tz sin(thetaz) = P (equilíbrio vertical)
Onde $ h $ é a altura do ponto de fixação até o vaso. Como não temos $ h $, podemos considerar que os triângulos são semelhantes ou que as proporções nos ajudam a resolver as tensões.

Passo 5

Para simplificar, vamos supor que as cordas fazem os mesmos ângulos com a vertical, ou seja, que elas estão inclinadas de forma que formam um triângulo com os lados proporcionais a $ x $ e $ z $. Assim, podemos usar a relação:
x
z
Substituindo na equação do equilíbrio vertical:
Txx = Tzz
Rightarrow Tz = Tx times zx = Tx times 21,5 = Tx times 43
Tx + Tz = P
Tx + 43 Tx = 490 , N
73 Tx = 490 , N

Resposta

A tensão na corda de 1,5 m é de 210 N e na corda de 2 m é de 280 N.

Exercícios relacionados