Um elemento estrutural está solicitado pelas tensões normais sigmax e sigmay e pela tensão cisalhante taux. Sabendo-se que tauxy=3,0 MPa e que tensões principais são sigma1=10,0 MPa e sigma2=2,0 MPa, calcule:
O valor das tensões normais sigmax e sigmay;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre tensões normais ( sigmax e sigmay) e tensão cisalhante ( tauxy) em um elemento estrutural. A gente vai precisar usar conceitos de tensões principais para descobrir os valores de sigmax e sigmay. Vamos usar as informações dadas: tauxy = 3,0 MPa, sigma1 = 10,0 MPa e sigma2 = 2,0 MPa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que as tensões principais são os valores máximos e mínimos das tensões normais que agem em um ponto, e são dadas por sigma1 e sigma2. A soma dessas tensões principais é igual à soma das tensões normais sigmax e sigmay. Então, temos:
sigma1 + sigma2 = sigmax + sigmay
Substituindo os valores:
10,0 + 2,0 = sigmax + sigmay implies 12,0 = sigmax + sigmay

Passo 3

Agora, vamos usar a relação entre as tensões principais e a tensão cisalhante. A diferença das tensões principais está relacionada com a diferença das tensões normais e a tensão cisalhante pela seguinte equação:
sigma1 - sigma2 = 2 raiz( sigmax - sigmay2 )^2 + tauxy^2
Calculando a diferença das tensões principais:
10,0 - 2,0 = 8,0 = 2 raiz( sigmax - sigmay2 )^2 + 3,0^2

Passo 4

Vamos simplificar a equação:
8,0 = 2 raiz( sigmax - sigmay2 )^2 + 9,0
Dividindo os dois lados por 2:
4,0 = raiz( sigmax - sigmay2 )^2 + 9,0
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
16,0 = ( sigmax - sigmay2 )^2 + 9,0
Subtraindo 9,0 de ambos os lados:
7,0 = ( sigmax - sigmay2 )^2

Passo 5

Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
raiz7,0 = sigmax - sigmay2
Multiplicando por 2:
2raiz7 = sigmax - sigmay

Passo 6

Agora temos um sistema de duas equações:
  1. sigmax + sigmay = 12,0
  2. sigmax - sigmay = 2raiz7
Vamos somar as duas equações para eliminar sigmay:
(sigmax + sigmay) + (sigmax - sigmay) = 12,0 + 2raiz7
2sigmax = 12,0 + 2raiz7
sigmax = 6,0 + raiz7

Passo 7

Agora, substituímos o valor de sigmax na primeira equação para encontrar sigmay:
6,0 + raiz7 + sigmay = 12,0
sigmay = 12,0 - 6,0 - raiz7
sigmay = 6,0 - raiz7

Resposta

As tensões normais são:
sigmax = 6,0 + raiz7 MPa
sigmay = 6,0 - raiz7 MPa

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