If the mass of the girder is 3 Mg and its center of mass is located at point G, determine the tension developed in cables A B, B C, and B D for equilibrium.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma viga de massa 3 Mg (ou seja 3000 kg) com centro de massa em G, sustentada por três cabos que se ligam em B e vão até A, C e D. Precisamos achar as tensões nos cabos AB, BC e BD para que a viga fique em equilíbrio.
Conteúdo usado: estática de corpos rígidos (equilíbrio de forças e momentos), decomposição vetorial e momento de forças. Vamos precisar das coordenadas de A, B, C, D e G para montar os vetores das direções dos cabos, usar e, se necessário, .

Passo 2

Primeiro a gente define as incógnitas:
, e .
Também marcamos as posições (vetores de posição) de cada ponto no sistema de coordenadas. Por exemplo,
, , , e .

Passo 3

Calculamos os vetores que indicam as direções de cada cabo, a partir de B:
LAB = rA - rB, LBC = rC - rB, LBD = rD - rB
E então construímos os versores unitários
uAB = LAB| LAB|,; uBC = LBC| LBC|,; uBD = LBD| LBD|

Passo 4

Escrevemos o equilíbrio de forças em cada eixo (x, y, z). A viga está parada, então
sum F = TAB, uAB ;+; TBC, uBC ;+; TBD, uBD ;-; W, k ;=;0,
onde TAB,uAB,x + TBC,uBC,x + TBD,uBD,x = 0, TAB,uAB,y + TBC,uBC,y + TBD,uBD,y = 0, TAB,uAB,z + TBC,uBC,z + TBD,uBD,z = W N é o peso, agindo na direção .
Isso dá um sistema de 3 equações escalares:

Passo 5

Se houver redundância (p. ex., se sum MB = ( rG - rB)times(-W, k) ;+;sumcabos ( raplicação- rB)times (T, u)=0 não forem linearmente independentes), a gente também usa o momento em torno de B (ou de outro ponto conveniente):
çã
Mas normalmente, com três cabos bem posicionados, o sistema de forças já fecha as 3 incógnitas.

Resposta

Montando o sistema
TAB,uAB,x + TBC,uBC,x + TBD,uBD,x = 0, TAB,uAB,y + TBC,uBC,y + TBD,uBD,y = 0, TAB,uAB,z + TBC,uBC,z + TBD,uBD,z = 3000cdot9,81,
e resolvendo para (usando álgebra linear), chegamos aos valores numéricos desejados. Basta substituir as coordenadas de A, B, C, D e G e resolver o sistema acima.

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