Qual a igualdade do equilíbrio do consumidor?

Passo 1

O que o enunciado pede: saber qual é a igualdade (condição) que caracteriza o equilíbrio do consumidor.
Informações dadas (pressupostos padrão que usamos para derivar a igualdade):
  • Existem dois bens com quantidades x e y.
  • O consumidor tem função utilidade u(x,y) estritamente crescente e diferenciável.
  • Os preços dos bens são p_x e p_y e a renda é m.
  • O consumidor escolhe (x,y) para maximizar u(x,y) sujeito à restrição orçamentária p_x x + p_y y = m.
    O objetivo aqui é encontrar a condição que o pacote escolhido deve satisfazer no interior da restrição (solução interior).

Passo 2

Método escolhido: método dos multiplicadores de Lagrange (é o mais direto para maximizar utilidade com restrição orçamentária). Vou explicar a ideia antes de aplicar: montar uma função que combine a utilidade com a restrição multiplicada por um multiplicador \lambda; então derivar em relação às variáveis e igualar a zero para obter condições necessárias de ótimo. \lambda tem interpretação econômica (vou explicar depois).

Passo 3

Escrevendo o Lagrangiano:
\mathcal{L}(x,y,\lambda)=u(x,y)+\lambda\bigl(m - p_x x - p_y y\bigr).
Aqui:
  • u(x,y) é a utilidade;
  • \lambda é o multiplicador (marginal utility of income);
  • m-p_x x - p_y y é a folga da restrição orçamentária (deve ser zero no ativo).
As condições de primeira ordem (derivadas parciais iguais a zero) são:
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}=u_x(x,y)-\lambda p_x=0,
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}=u_y(x,y)-\lambda p_y=0,
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda}=m - p_x x - p_y y=0.
Explicando símbolos:
  • u_x(x,y)=\dfrac{\partial u}{\partial x} é a utilidade marginal do bem x (ganho de utilidade se aumentar x em uma unidade, mantendo y fixo).
  • u_y(x,y)=\dfrac{\partial u}{\partial y} é a utilidade marginal do bem y.

Passo 4

Das duas primeiras condições obtemos:
u_x(x,y)=\lambda p_x, \qquad u_y(x,y)=\lambda p_y.
Igualando \lambda entre as duas expressões:
\frac{u_x(x,y)}{p_x}=\lambda=\frac{u_y(x,y)}{p_y}.
Rearranjando, uma forma muito usada é:
\frac{u_x(x,y)}{u_y(x,y)}=\frac{p_x}{p_y}.
Esta é a igualdade do equilíbrio interior. Vou explicar o que ela significa geometricamente e economicamente.

Passo 5

Interpretação geométrica e econômica:
  • Geometricamente: \dfrac{u_x}{u_y} é a inclinação (valor absoluto da inclinação) da curva de indiferença — é o MRS (taxa marginal de substituição) entre x e y. A igualdade diz que a inclinação da curva de indiferença no ponto ótimo é igual à inclinação da reta orçamentária \bigl(-p_x/p_y\bigr) (tomando sinais apropriados), ou seja, tangência entre indiferença e reta orçamentária.
  • Economicamento: \dfrac{u_x}{p_x}=\dfrac{u_y}{p_y} significa que o consumidor iguala a utilidade marginal por unidade monetária gasta em cada bem — não faz sentido gastar um real num bem que dá menos utilidade marginal por real do que outro, pois trocar uma pequena quantia para o outro bem aumentaria a utilidade total.
Além disso:
  • \lambda tem interpretação: \lambda=\dfrac{u_x}{p_x}=\dfrac{u_y}{p_y} é a utilidade marginal da renda (quanto a utilidade aumenta se a renda aumentar em uma unidade monetária).
  • Observação importante: essa condição vale para uma solução interior (ambos os bens consumidos em quantidades positivas). Em soluções de canto (por exemplo, consumir zero de um bem) a condição de tangência pode não valer; nesses casos compara-se utilidades marginais e preços para verificar se a solução de canto é ótima.

Passo 6

Exemplo concreto (para fixar a ideia): utilidade Cobb–Douglas \;u(x,y)=x^{\alpha}y^{1-\alpha} com 0<\alpha<1.
  • Calcular utilidades marginais:
u_x=\alpha x^{\alpha-1}y^{1-\alpha}, \qquad u_y=(1-\alpha)x^{\alpha}y^{-\alpha}.
  • Calcular a razão:
\frac{u_x}{u_y}=\frac{\alpha}{1-\alpha}\cdot\frac{y}{x}.
Impor a condição do equilíbrio:
\frac{\alpha}{1-\alpha}\cdot\frac{y}{x}=\frac{p_x}{p_y} \quad\Rightarrow\quad y=\frac{1-\alpha}{\alpha}\cdot\frac{p_x}{p_y}\,x.
Usar a restrição orçamentária p_x x + p_y y = m e substituir a expressão de y leva, após simplificar, às demandas:
x=\frac{\alpha m}{p_x}, \qquad y=\frac{(1-\alpha)m}{p_y}.
Essas fórmulas mostram concretamente como a igualdade leva às quantidades ótimas.

Passo 7

Observações finais e dicas para prova:
  • Ao resolver, verifique sempre se a solução encontrada é interior (ambas quantidades positivas). Se algum bem sair zero, teste se a condição de canto é a correta (compare utilidades marginais por preço).
  • Em problemas com mais de dois bens, a condição geral é:
\frac{u_i}{p_i}=\frac{u_j}{p_j}\quad\text{para todos }i,j,
ou equivalentemente \dfrac{u_i}{u_j}=\dfrac{p_i}{p_j}.
  • Interprete sempre como “igualar o benefício marginal por unidade monetária” — isso ajuda a escolher rapidamente a resposta certa em questões de múltipla escolha.

Passo 8

Respira fundo — essa é a igualdade central da teoria do consumidor. Treine com um exemplo (tipo Cobb–Douglas e um exemplo linear) para fixar. Você consegue!

Resposta

\dfrac{u_x(x,y)}{u_y(x,y)}=\dfrac{p_x}{p_y}
\dfrac{u_x(x,y)}{p_x}=\dfrac{u_y(x,y)}{p_y}

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