iii) Agora, considere que a partícula oscila em torno de r0 e que, inicialmente, a partícula tem velocidade angular omega0 em r0. Da equação de varphi, mostre que dotvarphi=a h omega0 / r^2. Com os resultados obtidos, mostre que a equação de r é dada por
ddotr-a^2 h^2 omega0^2r^3=-2 g ra
Como a oscilação é feita em torno de r0, considere que r bumpeq r0+u, onde u é muito pequeno quando comparado com r0. Mostre que, segundo a equação do item anterior, através de expansões de Taylor, esta se reduz a
ddotu+8 ga u=0

Passo 1

Vamos lá! Esse exercício trata do movimento de uma partícula que está oscilando em torno de uma posição $ r_0 $. O conteúdo principal envolve movimento circular e leis do movimento com uso de derivadas temporais. Para resolver, vamos precisar aplicar conceitos de cinemática angular e expansões de Taylor para aproximar a equação de movimento quando as oscilações são pequenas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a partícula ter uma velocidade angular $ \omega_0 $ em $ r_0 $. A velocidade angular descreve o quanto a posição da partícula está mudando em relação ao ângulo $ \varphi $ por unidade de tempo.

Passo 3

A partir da equação de $ \varphi $ fornecida, queremos mostrar que:
varphi
Aqui, $ \dot{\varphi} $ representa a derivada temporal de $ \varphi $, ou seja, a velocidade angular instantânea.

Passo 4

Para encontrar $ \dot{\varphi} $, consideramos que a quantidade angular $ h $ está relacionada ao momento angular da partícula. A relação dada sugere que:
dotvarphi
Isso nos mostra como a velocidade angular depende de $ r $, $ a $, $ h $ e $ \omega_0 $.

Passo 5

Agora, vamos derivar a equação do movimento para $ r $. A equação fornecida é:
r
Aqui, $ \ddot{r} $ é a aceleração radial, e os demais termos representam forças centrípetas e gravitacionais.

Passo 6

Como a partícula oscila em torno de $ r_0 $, podemos escrever $ r $ como:
r0
onde $ u $ é uma pequena variação em torno de $ r_0 $ ($ u \ll r_0 $). Isso significa que $ u $ representa a oscilação radial.

Passo 7

Substituímos $ r = r_0 + u $ na equação do movimento:
r = r0 + u
Como $ r_0 $ é constante, $ \ddot{r_0} = 0 $, então temos:
ddot(r0 + u) - a^2 h^2 omega0^2(r0 + u)^3 = -2 g (r0 + u)a

Passo 8

Para simplificar, usamos a expansão de Taylor para $ \frac{1}{(r_0 + u)^3} $ assumindo que $ u $ é muito pequeno:
1(r0 + u)^3
Substituindo na equação:
u

Passo 9

Distribuindo os termos e simplificando:
ddotu - a^2 h^2 omega0^2r0^3 + 3 a^2 h^2 omega0^2 ur0^4 = -2 g r0a - 2 g ua
Agora, agrupamos os termos que não dependem de $ u $ e os que dependem de $ u $:
u

Passo 10

Para que a equação seja válida para oscilações em torno de $ r_0 $, o termo independente de $ u $ deve ser zero, ou seja:
r0
Isso estabelece uma condição que relaciona $ r_0 $, $ a $, $ h $ e $ \omega_0 $.

Passo 11

Com isso, a equação simplificada para $ u $ fica:
u
Dado que a condição anterior foi satisfeita, reduzimos a constante multiplicando $ u $.

Passo 12

Finalmente, a equação resulta em:
ddotu + 8 ga u = 0

Resposta

A equação para a oscilação $ u $ em torno de $ r_0 $ é dada por:
u

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