iii) Agora, considere que a partícula oscila em torno de
e que, inicialmente, a partícula tem velocidade angular
em
. Da equação de
, mostre que
. Com os resultados obtidos, mostre que a equação de
é dada por
Como a oscilação é feita em torno de
, considere que
, onde
é muito pequeno quando comparado com
. Mostre que, segundo a equação do item anterior, através de expansões de Taylor, esta se reduz a
Passo 1
Vamos lá! Esse exercício trata do movimento de uma partícula que está oscilando em torno de uma posição $ r_0 $. O conteúdo principal envolve movimento circular e leis do movimento com uso de derivadas temporais. Para resolver, vamos precisar aplicar conceitos de cinemática angular e expansões de Taylor para aproximar a equação de movimento quando as oscilações são pequenas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a partícula ter uma velocidade angular $ \omega_0 $ em $ r_0 $. A velocidade angular descreve o quanto a posição da partícula está mudando em relação ao ângulo $ \varphi $ por unidade de tempo.
Passo 3
A partir da equação de $ \varphi $ fornecida, queremos mostrar que:
Aqui, $ \dot{\varphi} $ representa a derivada temporal de $ \varphi $, ou seja, a velocidade angular instantânea.
Passo 4
Para encontrar $ \dot{\varphi} $, consideramos que a quantidade angular $ h $ está relacionada ao momento angular da partícula. A relação dada sugere que:
Isso nos mostra como a velocidade angular depende de $ r $, $ a $, $ h $ e $ \omega_0 $.
Passo 5
Agora, vamos derivar a equação do movimento para $ r $. A equação fornecida é:
Aqui, $ \ddot{r} $ é a aceleração radial, e os demais termos representam forças centrípetas e gravitacionais.
Passo 6
Como a partícula oscila em torno de $ r_0 $, podemos escrever $ r $ como:
onde $ u $ é uma pequena variação em torno de $ r_0 $ ($ u \ll r_0 $). Isso significa que $ u $ representa a oscilação radial.
Passo 7
Substituímos $ r = r_0 + u $ na equação do movimento:
Como $ r_0 $ é constante, $ \ddot{r_0} = 0 $, então temos:
Passo 8
Para simplificar, usamos a expansão de Taylor para $ \frac{1}{(r_0 + u)^3} $ assumindo que $ u $ é muito pequeno:
Substituindo na equação:
Passo 9
Distribuindo os termos e simplificando:
Agora, agrupamos os termos que não dependem de $ u $ e os que dependem de $ u $:
Passo 10
Para que a equação seja válida para oscilações em torno de $ r_0 $, o termo independente de $ u $ deve ser zero, ou seja:
Isso estabelece uma condição que relaciona $ r_0 $, $ a $, $ h $ e $ \omega_0 $.
Passo 11
Com isso, a equação simplificada para $ u $ fica:
Dado que a condição anterior foi satisfeita, reduzimos a constante multiplicando $ u $.
Passo 12
Finalmente, a equação resulta em:
Resposta
A equação para a oscilação $ u $ em torno de $ r_0 $ é dada por: