ii) Mostre que as equações de movimento são dadas por
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente mostrar que as equações de movimento de um sistema com dois pendulos duplos são aquelas que foram apresentadas. Estamos lidando com a dinâmica de sistemas de pêndulos, que envolve entender como as massas se movem sob a influência da gravidade e das forças que surgem entre elas. Para resolver isso, vamos precisar usar leis de Newton aplicadas a cada massa e considerar os torques e as acelerações angulares.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o sistema: temos dois pendulos conectados. O primeiro pendulo tem massa $ m_1 $ e comprimento $ l_1 $, e o segundo pendulo tem massa $ m_2 $ e comprimento $ l_2 $. As posições dos pendulos são definidas pelos ângulos $ \vartheta_1 $ e $ \vartheta_2 $, que medem a inclinação de cada pendulo em relação à vertical.
Passo 3
Vamos começar aplicando a segunda lei de Newton para rotação, que nos diz que o torque total $ \tau $ sobre um objeto é igual ao momento de inércia $ I $ multiplicado pela aceleração angular $ \alpha $:
No nosso caso, precisamos considerar os torques que atuam em cada massa.
Passo 4
Para o primeiro pendulo ($ m_1 $), o torque devido à gravidade é:
Aqui, o sinal negativo indica que o torque atua na direção oposta ao aumento do ângulo $ \vartheta_1 $.
Passo 5
Para o segundo pendulo ($ m_2 $), a situação é um pouco mais complexa porque ele está conectado ao primeiro pendulo. O torque total sobre o segundo pendulo inclui:
- O torque devido à sua própria massa:
- O torque devido à interação com o primeiro pendulo:
Esse segundo torque surge porque o movimento do primeiro pendulo afeta o segundo, criando uma interação entre eles.
Passo 6
Agora, vamos calcular o momento de inércia para cada pendulo. O momento de inércia $ I $ para um pendulo simples é dado por:
Então, para o primeiro pendulo:
E para o segundo pendulo:
Notamos que $ m_2 $ também afeta o primeiro pendulo.
Passo 7
Aplicando a segunda lei de Newton para rotação em cada pendulo, temos:
Para o primeiro pendulo:
Para o segundo pendulo:
Essas equações representam as relações entre as acelerações angulares dos pendulos e as forças atuantes.
Resposta
As equações de movimento do sistema são:
e