ii) Mostre que as equações de movimento são dadas por
r (m1+m2) l1^2 ddotvartheta1+m2 l1 l2 ddotvartheta2 cos (vartheta1-vartheta2)+m2 l1 l2 dotvartheta2^2 sin (vartheta1-vartheta2)= =-(m1+m2) g l1 sin vartheta1
e
r m2 l2^2 ddotvartheta2+m2 l1 l2 ddotvartheta1 cos (vartheta1-vartheta2)-m2 l1 l2 dotvartheta1^2 sin (vartheta1-vartheta2)= =-m2 g l2 sin vartheta2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente mostrar que as equações de movimento de um sistema com dois pendulos duplos são aquelas que foram apresentadas. Estamos lidando com a dinâmica de sistemas de pêndulos, que envolve entender como as massas se movem sob a influência da gravidade e das forças que surgem entre elas. Para resolver isso, vamos precisar usar leis de Newton aplicadas a cada massa e considerar os torques e as acelerações angulares.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o sistema: temos dois pendulos conectados. O primeiro pendulo tem massa $ m_1 $ e comprimento $ l_1 $, e o segundo pendulo tem massa $ m_2 $ e comprimento $ l_2 $. As posições dos pendulos são definidas pelos ângulos $ \vartheta_1 $ e $ \vartheta_2 $, que medem a inclinação de cada pendulo em relação à vertical.

Passo 3

Vamos começar aplicando a segunda lei de Newton para rotação, que nos diz que o torque total $ \tau $ sobre um objeto é igual ao momento de inércia $ I $ multiplicado pela aceleração angular $ \alpha $:
tau
No nosso caso, precisamos considerar os torques que atuam em cada massa.

Passo 4

Para o primeiro pendulo ($ m_1 $), o torque devido à gravidade é:
m1
Aqui, o sinal negativo indica que o torque atua na direção oposta ao aumento do ângulo $ \vartheta_1 $.

Passo 5

Para o segundo pendulo ($ m_2 $), a situação é um pouco mais complexa porque ele está conectado ao primeiro pendulo. O torque total sobre o segundo pendulo inclui:
  1. O torque devido à sua própria massa:
m2
  1. O torque devido à interação com o primeiro pendulo:
tau2 = -m2 g l2 sin vartheta2
Esse segundo torque surge porque o movimento do primeiro pendulo afeta o segundo, criando uma interação entre eles.

Passo 6

Agora, vamos calcular o momento de inércia para cada pendulo. O momento de inércia $ I $ para um pendulo simples é dado por:
I
Então, para o primeiro pendulo:
I = m l^2
E para o segundo pendulo:
I1 = (m1 + m2) l1^2
Notamos que $ m_2 $ também afeta o primeiro pendulo.

Passo 7

Aplicando a segunda lei de Newton para rotação em cada pendulo, temos:
Para o primeiro pendulo:
(m1 + m2) l1^2 ddotvartheta1 + m2 l1 l2 ddotvartheta2 cos (vartheta1 - vartheta2) + m2 l1 l2 dotvartheta2^2 sin (vartheta1 - vartheta2) = - (m1 + m2) g l1 sin vartheta1
Para o segundo pendulo:
m2 l2^2 ddotvartheta2 + m2 l1 l2 ddotvartheta1 cos (vartheta1 - vartheta2) - m2 l1 l2 dotvartheta1^2 sin (vartheta1 - vartheta2) = - m2 g l2 sin vartheta2
Essas equações representam as relações entre as acelerações angulares dos pendulos e as forças atuantes.

Resposta

As equações de movimento do sistema são:
r (m1+m2) l1^2 ddotvartheta1 + m2 l1 l2 ddotvartheta2 cos (vartheta1-vartheta2) + m2 l1 l2 dotvartheta2^2 sin (vartheta1-vartheta2) = = -(m1+m2) g l1 sin vartheta1
e
r m2 l2^2 ddotvartheta2 + m2 l1 l2 ddotvartheta1 cos (vartheta1-vartheta2) - m2 l1 l2 dotvartheta1^2 sin (vartheta1-vartheta2) = = -m2 g l2 sin vartheta2

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